Xbar-S控制图

# 1、作用

Xbar-S 图是统计过程控制（Statistical Process Control, SPC）中用于监控生产过程中均值和变异性的重要工具。通过这种图表，可以同时评估过程平均值和标准差是否保持在控制限内，确保产品质量的稳定性和一致性。它由两个部分组成：

Xbar 图（均值图）：监控过程均值的稳定性，检测子组间均值偏移。

S 图（标准差图）：监控子组内变异程度，检测过程离散度异常。

# 2、输入输出描述

输入：1 个定量变量或 1 个定量变量与定类变量的组合

输出：Xbar 图（均值图）、S 图（标准差图）

# 3、案例示例

案例：我们要求每袋大米的重量 ≥50kg，装袋过程是自动的，只要重量测量=50kg，装填动作立刻停止。为了确认装袋过程的波动，我们让检验员每个小时连续抽 4 袋大米在校验合格的秤上称重，总共进行了 20 次实验。接下来我们基于收集到的样本，用控制图来确认下生产过程是否稳定，是否可用于过程预测。

# 4、案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【Xbar-S】；
step5：查看对应的数据数据格式，【Xbar-S】要求输入为1 个定量变量或 1 个定量变量与定类变量的组合。
step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

输出结果 1：Xbar-S 图

图表说明：Xbar 图和 S 图是成对使用的控制图，二者密切相关，共同反映过程的稳定性和控制状态。超出上下控制限的点被认为是异常点。

# 7、注意事项

数据应当是连续的

如果数据中有缺陷品数或缺陷数，请使用属性控制图，如 P 控制图或 U 控制图。

# 8、模型理论

Xbar-S 图是统计过程控制中用于监控生产过程中均值和变异性的重要工具。通过这种图表，可以同时评估过程平均值和标准差是否保持在控制限内，确保产品质量的稳定性和一致性。Xbar-S 图由 Xbar 图和 S 图组成，关于 Xbar 图和 S 图中包含的标绘点、中心线、控制上下限的公式计算如下：

（1）Xbar 图

标绘点：各子组数据点的平均值

其中 n 是指各个子组中包含样本数量，x_i 是指各个子组中对应的样本值的大小。

中心线：子组数据总平均值

其中 N 是指子组的数量

控制上限:

控制下限：

其中 k 是检验过程中设置的参数，σ 是指过程标准差值，n_i 是子组 i 中观测值的个数。

（2）S 图

标绘点：子组标准差

其中 n 是指各个子组中包含样本数量，x_i 是指各个子组中对应的样本值的大小.

中心线：子组的平均标准差

① 如果不使用无偏常量，则过程标准差 σ 为子组的平均标准差，即

② 如果使用无偏常量，计算每个子组 i 的中心线值，即

控制上限:

① 如果使用无偏常量

② 如果不使用无偏常量

控制下限：

① 如果使用无偏常量

② 如果不使用无偏常量

其中 k 是检验过程中设置的参数，σ 是指过程标准差值，n_i 是子组 i 中观测值的个数。

（3）估计的方法-Sbar 方法

① 如果不使用无偏常量，则 σ 为子组标准差的均值。计算如下：

其中 N 是指子组的数量，S_i 是指各个子组的标准差。

② 如果使用无偏常量，则 Sbar 的计算方式如下：

上述式子中如果每个子组的样本量是相等的，则 Sbar 为：

式中，S_i 是指各个子组的标准差，N 为子组数。

（4）估计 σ 的方法-合并标准差方法

① 如果不使用无偏常量，使用合并标准差估计 σ，合并标准差的计算公式如下：

如果每个子组的大小相等，则按照以下公式计算合并标准差（即为子组方差的均值）：

其中 x_ij 为第 i 个子组的第 j 个观测值，n_i 是指第 i 个子组的样本数， S_i 指第 i 个子组的样本标准差，N 指子组数。

② 如果使用无偏常量，使用合并标准差估计 σ

式中，d 为 S_p 的自由度。

如果每个子组的大小相等，则按照以下公式计算合并标准差：

# 9、参考文献

[1]Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.

[2]Montgomery D C. Introduction to statistical quality control[M]. John wiley & sons, 2020.