T²广义方差控制图

发布：2025-09-01 　|　最近更新：2026-09-24 　|　责任主体：SPSSPRO

# 1、作用

使用T²广义方差控制图可以同时监视两个或多个相关变量的过程位置和过程变异性是否受控制。此控制图是Xbar-R、Xbar-S和I-MR 控制图的多变量形式。

# 2、输入输出描述

输入：多个定量变量或多个定量变量与1个定类变量的组合。

输出：T²控制图和广义方差控制图。

# 3、案例示例

案例：某质量工程师想监控自己公司制造的塑料板的剪切强度、光泽度和不透明度的变异性。她在10天内每天测量了4张板。先前的分析发现，这些变量是相关的。质量工程师创建T²广义方差控制图，以便同时监视塑料片材在10天内的撕裂强度、光泽度和不透明度的均值和变异。

# 4、案例数据

案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；

Step2：上传数据；

Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【T²广义方差控制图控制图】；

step5：查看对应的数据数据格式，【T²广义方差控制图】要求输入为多个定量变量或多个定量变量与1个定类变量的组合。

step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

输出结果1：累计和控制图 T² 广义方差控制图输出结果

图表说明：T²广义方差控制图是一种多变量过程控制方法，用于监测和控制多个相互关联的过程变量。

# 7、注意事项

数据应当是连续的：仅适用于连续型数据，不可用于离散型数据，离散型数据请使用属性控制图，如P控制图或U控制图。
过程需严格满足 “稳态” 与多变量正态分布：主要包括所有单变量特性均稳态，每个质量特性的均值、标准差无异常波动；变量间的相关性稳态，变量间的协方差（或相关系数）保持恒定（如 “长度增加时宽度同步增加” 的关联程度无变化）。
多变量正态分布：T² 统计量的分布（如卡方分布、F 分布）推导依赖多变量正态假设，若数据偏离 MVN，控制限会失真。
数据需无 “变量冗余”：避免纳入完全线性相关的变量（如“周长”与“直径”，因周长=π×直径），否则会导致协方差矩阵奇异（行列式为 0），无法计算 T² 统计量（T² 公式中需协方差矩阵的逆）。

# 8、模型理论

T²广义方差控制图可以同时监视两个或多个相关变量的过程位置和过程变异性是否受控制。关于T²广义方差控制图中包含的标绘点、中心线、控制上下限的公式计算如下：

（1）T²广义方差控制图

标绘点（蓝色圆点）：表示单个观测值或子组样本的T²值

（1）子组的T²（Hotelling T²）值

T_{i}^{2} = n_{i} ({\overset{―}{x}}_{i} - \overset{―}{x})^{T} (S_{p}^{i j})^{- 1} ({\overset{―}{x}}_{i} - \overset{―}{x})

\overset{―}{x} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{M} {\overset{―}{x}}_{i}

S_{i j} = \frac{1}{n_{i} - 1} \sum_{k = 1}^{n_{i}} (x_{i k} - {\overset{―}{x}}_{i}) (x_{j k} - {\overset{―}{x}}_{j})^{T}

S_{p}^{i j} = \frac{1}{M} \sum_{i, j = 1}^{M} S_{i j}

式中， $n_{i}$ 是每个子组的大小（默认值为2）， ${\overset{―}{x}}_{i}$ 为第i个子组的均值向量， $\overset{―}{x}$ 为所有子组均值的总平均值，M为子组的总的个数， $S_{i j}$ 为变量i第i个子组与变量j第j个子组的协方差矩阵， $x_{i k}$ 为第i个子组的第k个样本向量， $S_{p}^{i j}$ 是合并协方差矩阵（即为各变量i与变量j协方差矩阵的均值）， $（ S_{p}^{i j} ）^{- 1}$ 为合并协方差矩阵的逆矩阵。

（2）单值T²（Hotelling T²）值

T_{i}^{2} = ({\overset{―}{x}}_{i} - \overset{―}{x})^{T} S^{- 1} ({\overset{―}{x}}_{i} - \overset{―}{x})

S = \frac{1}{2 (m - 1)} \sum_{i = 1}^{m - 1} ν_{i} ν_{i}^{T}

ν_{i} = x_{i + 1} - x_{i}

式中， ${\overset{―}{x}}_{i}$ 为一个样本的观测向量， $\overset{―}{x}$ 为所有样本的均值向量，S是样本协方差矩阵， $v_{i}$ 表示相邻样本的差值。

中心线（绿线）：T²统计量的理论分布的中位数

（1）子组的中心线值

C L = F^{- 1} (0.5; P, M N - M - P + 1) \frac{P (M - 1) (N - 1)}{M N - M - P + 1}

式中，F(0.5;P,MN-M-P+1)为F分布的0.5分位数， $F^{- 1} (0.5; P, M N - M - P + 1)$ 为F分布的逆累积分布函数，P为定量变量的个数，M为子组的个数，N为每个子组的样本数。

（2）单值的中心线值

C L = \frac{{(M - 1)}^{2}}{M} B e t a^{- 1} (0.5; \frac{P}{2}, \frac{(2 {(M - 1)}^{2} / (3 M - 4)) - P - 1}{2})

式中， $B e t a^{- 1} (.)$ 为Beta分布的逆累积分布函数，P为定量变量的个数，M为子组（即观测值）的个数。

控制上限（红线）：

（1）子组的上控制限

U C L = F^{- 1} (1 - α; P, M N - M - P + 1) \frac{P (M - 1) (N - 1)}{M N - M - P + 1}

式中， $F (1 - α; P, M N - M - P + 1)$ 为F分布的 $1 - α$ 分位数， $F^{- 1} (1 - α; P, M N - M - P + 1)$ 为F分布的逆累积分布函数， $α$ 为显著性水平，P为定量变量的个数，M为子组的个数，N为每个子组的样本数。

（2）单值的上控制限

U C L = \frac{{(M - 1)}^{2}}{M} B e t a^{- 1} (1 - α; \frac{P}{2}, \frac{(2 (M - 1)^{2} / (3 M - 4)) - P - 1}{2})

式中， $B e t a^{- 1} (.)$ 为Beta分布的逆累积分布函数， $α$ 为显著性水平，P为定量变量的个数，M为子组（即观测值）的个数。

异常点：

对超出上限的点进行异常点标记。

（2）广义方差控制图

标绘点（蓝色圆点）单个观测值或子组样本的广义方差统计量 $| S_{i} |$ ，它是样本 i的样本协方差矩阵的行列式。

如果不存在子组，则无法计算广义方差控制图的所有公式。在这种情况下，Minitab 通过减去相应的列均值，然后从所有数据的协方差矩阵中除以相应方差的平方根来标准化所有值。

当数据位于子组中时，图表将显示作为单个观测值的任何子组的缺失值。如果子组的大小小于或等于图表上的变量数，则图表还显示缺失值。

中心线（绿线）样本协方差矩阵的行列式 $| S_{i} |$

控制上下限

（1）控制上限：UCL

U C L = \frac{| S |}{b_{1}} (b_{1} + 3 b_{2}^{1 / 2})

b_{1} = \frac{1}{(n - 1)^{p}} \prod_{i = 1}^{p} (n - i)

b_{2} = \frac{1}{{(n - 1)}^{2 p}} \prod_{i = 1}^{p} (n - i) [\prod_{j = 1}^{p} (n - j + 2) - \prod_{j = 1}^{p} (n - j)]

（2）控制下限：LCL

\begin{aligned} L C L = \frac{| S |}{b_{1}} (b_{1} - 3 b_{2}^{1 / 2}) \\ b_{1} = \frac{1}{{(n - 1)}^{p}} \prod_{i = 1}^{p} (n - i) \\ b_{2} = \frac{1}{{(n - 1)}^{2 p}} \prod_{i = 1}^{p} (n - i) [\prod_{j = 1}^{p} (n - j + 2) - \prod_{j = 1}^{p} (n - j)] \end{aligned}

式中，P为定量变量的个数，n为每个子组的观测值个数。

异常点标记：

对超出上限、下限的点进行异常点标记。

# 9、参考文献

[1]Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.

[2]Montgomery D C. Introduction to statistical quality control[M]. John wiley & sons, 2020.

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