EWMA控制图

# 1、作用

EWMA控制图可以检测过程均值中的小偏差，而不会受到低值和高值的影响。EWMA控制图可以监视指数加权移动平均值，这些移动平均值可去除低值和高值所带来的影响。观测值可以是单个测量值，也可以是子组均值。EWMA控制图的好处在于低值或高值对于它们的影响不大。

# 2、输入输出描述

输入：1个定量变量或1个定量变量与定类变量的组合
输出：EWMA控制图

# 3、案例示例

案例：一家塑料制造公司的质量工程师想确保其批量生产过程始终受控。工程师测量了所有 35 个批次中每个批次的颜料的浓度。通过EWMA控制图方法检查过程中是否存在特殊原因变异。

# 4、案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；

Step2：上传数据；

Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【EMWA控制图】；

step5：查看对应的数据数据格式，【EMWA控制图】要求输入为1个定量变量或1个定量变量与定类变量的组合。

step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

输出结果1：EWMA控制图

图表说明：EWMA控制图可以监视过程在一段时间内的稳定性，进而标识和更正过程中的不稳定性。超出上下控制限的点被认为是异常点。

# 7、注意事项

• 数据应当是连续的：仅适用于连续型数据，不可用于离散型数据，离散型数据请使用属性控制图，如P控制图或U控制图。
  

• 数据独立性：需确保相邻批次数据无 “自相关性”，否则 EWMA 值会出现虚假波动，误判特殊原因。
  

• 数据完整性：不可遗漏或替换异常数据，前期数据需包含所有真实波动，才能准确估算 σ 和控制限；后期监控中若发现异常，需先分析原因，再判断是否为特殊原因，而非直接修改数据。
  

# 8、模型理论

EWMA控制图核心思想是通过指数衰减的权重对历史数据和当前数据进行加权平均，突出近期数据的影响，同时保留历史数据的信息。关于EWMA控制图中包含的标绘点、中心线、控制上下限的公式计算如下：

（1）EWMA控制图：

标绘点：表示第i个观测值（或第i个子组）的指数加权移动平均值。

$$\{\begin{array}{l}{z}_0=\overline{x}\\ z_1=r{\overline{x}}_1+(1-r)z_0\\ z_i=r{\overline{x}}_i+(1-r)z_{i-1}\end{array}$$

式中，${\overline{x}}_i$指第i个子组的平均值（如果是单个观测值的话，那就是利用单个观测值进行平均），$z_i$为第i个观测值（或第i个子组）的指数加权移动平均值，$z_0$设置为总的平均值，r为EWMA方法的权重。

中心线：子组数据总平均值。

$$\overline{x}=\frac{\sum _{i=1}^N{\overline{x}}_i}{N}$$

式中$\overline{x}$是指总的平均值（也叫过程均值），N是指子组的总数量。

控制上下限：

对于第一个子组（i=1）和后续子组（i>1），${\sigma }_z$的计算方式如下：

$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_z=\frac{r\sigma }{\sqrt{n_i}},i=1\\ {\sigma }_z=r\sigma \sqrt{\frac{1}{n_i}+\frac{(1-r{)}^{2.1}}{n_{i-1}}+\frac{(1-r{)}^{2.2}}{n_{i-2}}+\dots +\frac{(1-r{)}^{2.(i-1)}}{n_1}},i>1\end{array}$$

当子组的大小一致时，${\sigma }_z$的大小转化为：

$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_z=\frac{r\sigma }{\sqrt{n_i}},i=1\\ {\sigma }_z=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{r}{2-r}[1-(1-r{)}^{2i}]},i>1\end{array}$$

控制上限：$UC{L}_i=\mu +k_{{\sigma }_z}$
控制下限：$LC{L}_i=\mu -k_{{\sigma }_z}$

式中，μ是过程均值（即所有子组的平均值），$n_i$是子组i的大小，r为EWMA方法的权重，k是检验过程中设置的参数（默认参数为3，此时的检验为“距离中心线大于3个标准差的检验”），σ是待估计的标准差值。

异常点：

利用移动平均控制图方法进行检验的时候，检验方式为1个点距离中心线大于3个标准差。

（2）子组大小=1-估计σ的方法

移动极差平均值

$$\begin{array}{rl}& M{R}_i=max(x_h,\dots ,x_i)-min(x_h,\dots ,x_i)\text{, 其中 }h=i-w+1\\ & M{R}_{\mathrm{avg}}=\frac{\sum _{i=w}^{n}M{R}_i}{(n-w+1)}\end{array}$$

使用$M{R}_{\mathrm{avg}}$计算估计σ（无偏估计）：

$$\sigma =\frac{M{R}_{\text{avg }}}{d_2(w)}$$

式中，$M{R}_i$是观测值i的移动极差，n是观测值的个数，w是移动极差的长度（默认的长度为2），$M{R}_{\mathrm{avg}}$是移动极差平均值。

移动极差中位数

$$\begin{array}{rl}& M{R}_i=max(x_h,\dots ,x_i)-min(x_h,\dots ,x_i)\text{, 其中 }h=i-w+1\\ & M{R}_{\text{median }}=\mathrm{median}(M{R}_w,\dots ,M{R}_i)\end{array}$$

使用$M{R}_{\text{median }}$计算估计σ（无偏估计）：

$$\sigma =\frac{M{R}_{\text{median }}}{d_4(w)}$$

式中，$M{R}_i$是观测值i的移动极差，n是观测值的个数，w是移动极差的长度（默认的长度为2），$M{R}_{\text{median }}$是移动极差中位数。

递差均方和平方根

使用无偏常量时

$$SRMSSD=\frac{\sqrt{\frac{1}{2}\times \frac{\sum _{i=2}^N{d}_i^2}{M-1}}}{c_4^{\prime }(N)}$$

不使用无偏常量时

$$SRMSSD=\sqrt{\frac{1}{2}\times \frac{\sum _{i=2}^N{d}_i^2}{M-1}}$$

式中，d_i是观测值i与观测值i-1之间的差值，M是观测值的个数。

（3）子组大小>1-估计σ的方法

Rbar方法默认使用无偏常量，计算方式如下：

如果使用无偏常量，使用每个子组的极差$r_i$计算$S_r$，它是σ的无偏估计量：

$$S_r=\frac{\sum _i\frac{f_i{r}_i}{d_2(n_i)}}{\sum _i{f}_i}$$$$f_i=\frac{{[d_2(n_i)]}^2}{{[d_3(n_i)]}^2}$$

如果每个子组的大小相等，则按照以下公式计算$S_r$：

$$S_r=\frac{\sum _i{r}_i}{N{d}_2(n_i)}$$

Sbar方法计算方式如下：

如果不使用无偏常量，则σ为子组标准差的均值。计算如下：

$$\bar{S}=\sigma$$$$\bar{S}=\frac{\sum _{i=1}^N{S}_i}{N}$$

其中$\bar{S}$是指子组标准差均值，N是指子组的数量，$S_i$是指各个子组的标准差。

如果使用无偏常量，则Sbar的计算方式如下：

$$\bar{S}=\frac{\sum _i\frac{h_i{S}_i}{c_4(n_i)}}{\sum _i{h}_i}$$$$h_i=\frac{{(c_4(n_i))}^2}{1-{(c_4(n_i))}^2}$$$$c_4(n)=\sqrt{\frac{2}{n-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n-1}{2})}$$

上述式子中如果每个子组的样本量是相等的，则Sbar为：

$$\overline{S}=\frac{\sum _i{S}_i}{N{c}_4(n_i)}$$

式中，$S_i$是指各个子组的标准差，$\mathrm{\Gamma }(.)$是Gamma函数，N为子组数。

合并标准差的计算方式如下：

如果不使用无偏常量，计算公式如下：

$$S_p=\sqrt{\frac{\sum _i\sum _j{(x_{ij}-{\bar{x}}_i)}^2}{\sum _i(n_i-1)}}$$

如果每个子组的大小相等，则按照以下公式计算合并标准差（即为子组方差的均值）：

$$\begin{array}{rl}{S}_p& =\sqrt{\frac{\sum _i\sum _j{(x_{ij}-{\bar{x}}_i)}^2}{\sum _i(n_i-1)}}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^N(n_i-1)S_i^2}{\sum _{i=1}^N(n_i-1)}}\\ & =\sqrt{\frac{\sum _i{S}_i^2}{N}}\end{array}$$

其中$x_{ij}$为第i个子组的第j个观测值，${\bar{x}}_i$为子组i的均值，$n_i$是指第i个子组的样本数，$S_i$指第i个子组的样本标准差，N指子组数。

如果使用无偏常量，计算公式如下：

$$S_p=\frac{\sqrt{\sum _i\sum _j{(x_{ij}-{\bar{x}}_i)}^2}}{c_4(n_i)(\mathrm{d}+1)}$$$$d=\sum _i(n_i-1)$$$$c_4(n)=\sqrt{\frac{2}{n-1}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n-1}{2})}$$

式中，d为$S_p$的自由度，$\mathrm{\Gamma }(.)$是Gamma函数。

如果每个子组的大小相等，则按照以下公式计算合并标准差：

$$S_p=\frac{\sqrt{\frac{\sum _i{S}_i^2}{N}}}{c_4(n_i{)}^{(\mathrm{d}+1)}}$$

# 9、参考文献

[1]Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.

[2]Montgomery D C. Introduction to statistical quality control[M]. John wiley & sons, 2020.