重复测量方差

# 1、作用

重复测量方差是一种用于重复测量数据的方差分析，通过分解方差-协方差矩阵代替对方差的分解。而重复测量数据，是一种医学研究常用数据，通过对不同时间点对同一对象的同一观察指标进行多次测量得到。这类数据常常存在相关性，不符合一般方差分析对数据的独立性的要求，故需要使用重复测量方差进行分析。

# 2、输入输出描述

输入：组内变量（大于等于2个）与因变量和个体变量，以及可选的组间变量。
输出：组间、组内不同水平之间是否存在差异以及组间随着组内变量的变化趋势。

# 3、案例示例

案例：某医院需要测量某试验后的血糖浓度，于是将男、女各50人分为两组，分别测量0、45、90、135分钟的血糖浓度。用重复测量方差法分析男、女（组间）之间和各个时间点之间（组内）是否存在差异。

# 4、案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建项目；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【事后多重比较】；
step5：查看对应的数据数据格式，输入对应的个体变量和组内变量，以及可选的组间变量；
step6：输入组内变量名（只是一个代表组内变量的名字），因为是45min/90min/135min的重复测量，故为时间点（如果是如第一次测量/第二次测量/第三次测量，可以尝试取名为测量节点等名字）；
step7：选择是否进行事后多重比较，本例选择不进行；
step8：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

输出结果1：

图表说明：
上表展示了球形度检验的结果，用于检验不同组内变量的结果是否有相关性，且组内项数量为2时，球形度检验结果失效，其中：
P>0.05，通过球形检验，在组内效应的检验中可采用球形度检验结果。
P<0.05，未能通过球形检验，重复测量的数据之间有相关性，在组内效应的检验中需要采取校正结果或者多元方差分析结果。
如若需要校正，存在两种校正方法，一种是格林豪斯-盖斯勒校正法，另一种是辛-费德勒校正法。
智能分析：
球形度检验结果显示，显著性P值为0.000***，水平上呈现显著性，未能通过球形检验，需要采取校正结果，建议采用选用格林豪斯-盖斯勒校正法。
分析：
又称球对称检验，检验数据的协方差矩阵不满足球形对称条件：

• 如果P值大于0.05为通过球形度检验，此时无需采用校正结果，后续结果直接看假设球形度这一行即可。
• 如果P值小于0.05为未通过球形度检验，此时需要采用校正结果，根据格林豪斯-盖斯勒校正法的epsilon判断，如若小于等于0.75则采用，否则采用辛-费德勒校正法。同样看对应行的结果即可。

输出结果2：组内效应分析

图表说明：
上表展示了组内效应分析的结果，根据是否通过球形检验，选用对应的结果进行分析。
智能分析：
对于变量时间点，选用格林豪斯-盖斯勒校正法，分析可以得到，显著性P值为0.000***，水平上呈现显著性，对结果有显著性影响，存在主效应。
对于变量性别，选用格林豪斯-盖斯勒校正法，分析可以得到，显著性P值为0.070*，水平上不呈现显著性，对结果没有显著性影响，不存在主效应。
对于交互项时间点 * 性别，选用格林豪斯-盖斯勒校正法，分析可以得到，显著性P值为0.481，水平上不呈现显著性，对结果没有显著性影响，不存在交互作用。
分析：

• 变量时间点呈现显著性，有显著性影响，可以认为存在组内效应。即某试验后，在0、45、90、135分钟的血糖浓度逐渐下降。
• 变量性别不呈现显著性，没有显著性影响，可以认为不存在组间效应。即男、女之间的性别差异，不会影响血糖浓度下降的情况。
• 变量时间点*性别呈现显著性，有显著性影响，可以认为存在交互效应。即在0、45、90、135分钟的时间流逝，男、女之间的性别差异不会影响血糖浓度下降的幅度。
• 变量残差的分析意义不是很大，仅供参考。

输出结果3：

图表说明：
上表展示了组间效应分析的结果，对变量不同水平之间的具体差异进行分析。
智能分析：
对于变量性别，从F检验的结果分析可以得到，显著性P值为0.650，水平上不呈现显著性，对结果没有显著性影响，不存在主效应。
分析：
分析是否存在组间效应，分析可得，P>0.05，不呈现显著性，故不存在主效应。

输出结果4：均值对比图

图表说明：
上图展示了重复测量方差的均值的结果，通过比较均值以及交叉情况，可以挖掘其差异关系。

# 7、注意事项

• 可以不输入组间变量，单纯进行组内变量的分析。
• 重复测量方差需要满足正态性（限制较为宽泛）和球形度假设（球形对称条件），不满足球形度假设时，需要参考校正后结果。

# 8、模型理论

# 重复测量方差介绍以及应用场景

重复测量方差是一种用于重复测量数据的方差分析，通过分解方差-协方差矩阵代替对方差的分解，下文仅介绍单因素重复测量方差分析。
重复测量方差分析的统计方法基于重复测量的实验设计。 而这种设计主要出于以下三种原因：

• 研究个体间变异很大
• 难以征募到足够多的被试
• 研究目的是考查某指标在不同时间的变化情。

如同独立测量方差分析是独立样本T检验的扩展一样，重复测量方差分析是配对T检验扩展到能容纳任何条件数的统计方法。用重复测量方差分析的统计方法取代一般单因素方差分析， 是由于重复测量方差分析自动分离出了个体差异这一误差，从而避免了由于个体差异太大导致F值太小，不接近统计显著性而不能拒绝零假设的情况。重复测量方差分析的公式如下：
$F=\frac{\mathrm{处}\mathrm{理}\mathrm{间}\mathrm{变}\mathrm{异}+\mathrm{误}\mathrm{差}\mathrm{的}\mathrm{估}\mathrm{计}\mathrm{值}（\mathrm{不}\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{个}\mathrm{体}\mathrm{差}\mathrm{异}）}{\mathrm{误}\mathrm{差}\mathrm{的}\mathrm{估}\mathrm{计}\mathrm{值}（\mathrm{不}\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{个}\mathrm{体}\mathrm{差}\mathrm{异}）}=\frac{M{S}_{\mathrm{处}\mathrm{理}\mathrm{间}}}{M{S}_{\mathrm{误}\mathrm{差}}}$

# 重复测量方差分析的假设

重复测量方差分析的假设除了一个重要的假设外，与方差分析的假设实际上是一样的，有以下四个：

1. 独立随机取样
2. 正态分布
3. 方差齐性
4. 协方差齐性

当遇到只有两个处理条件时，最后一个假设并不适用。然而当配对（或重复）设计有多余两个水平时，我们可以计算每对水平的协方差。只有当所有处理水平对具有相同的协方差时，总体中才存在协方差齐性。
这最后一个假设的含义有点难于理解，而且对违反这一假设该怎么处理尚有争论。首先，如果第3和第4个假设都为真，那么总体呈现一种称为复合对称的情形。当存在复合对称时，任何一对处理水平的总体相关（ρ）和任何其他对之间的总体相关都相等。复合对称在重复测量方差分析中被满足时（连同最开始的 两个假设），就可以按公式求得临界F值，而不用担心一类错误率。
然而，复合对称是个过于严格的假设。只要方差和协方差遵循一种球形模式（球形度假设），那么第3第4个假设就可以宽松一点。

# 球形度假设的定义与检验

球形度假设较为复杂，但我们可以简单地从自变量的任何两个 水平间的交互作用量来理解这个假设：球形假设意味着所有这些 交互作用一样大。（这和要求无论你看哪一对处理水平差异值的方差都相同一样。）然而，尽管一个总体在某种程度上更可能呈球形模式而不是复合对称模式，但是对许多类型的重复测量设计， 尤其是设计时间跨度的重复测量设计，这个球形假设很少能够得到满足。综合两方面的原因，这就会出现一个严重问题。
我们很难决定是否有理由假定总体是否存在球形假设。 Mauchly（1940）设计了一种方法：用样本方差和协方差计算一个统计量W，再利用W对总体的球形假设做出推断。可是这种方法就像大多数统计检验一样，对小样本效果不好。
因此， 当数据量确实小的适合，除非数据严重偏离球形假设，否则你有可能会接受针对 Mauchly's W 检验的零假设并错误地下结论说球形假设得到了满足。然而鉴于重复测量设计违反球形假设是很常见的，不管在进行一般的重复测量方差分析之前 Mauchly's W检验的P值是多少，建议对数据进行球形度检验。

# 不满足球形度假设时的方法

在实验数据中，各种成对交互作用可以被用于计算一个称为 ε 的因子，它是对一个总体中球形程度的估计。
在球形满足时，ε为最大，即1.0；当数据完全缺乏球形时为最小，即1/ （c -1）。重复测量方差分析中的一般df成分乘以ε，然后我们用校正了的df成分来查临界F值。
计算 ε 并不简单，而且至少会有两种得到不同答案的方法。其中一种是由 Greenhouse 和 Geisser（1959）提出，而另一种不那么保守的校正方法由 Huynh 和 Fedlt（1976）设计。
当 ε 不是很偏离 1.0 时，Huynh 和 Fedlt 的方法更有检验力。

# 9、参考文献

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2] 陈强. 高级计量经济学及Stata应用[M]. 高等教育出版社, 2010.
[3] 魏雨晨. 关于重复测量方差分析的理论介绍[J]. 心理医生, 2017, 23(036):294-296.