灰色预测模型GM(1,1)
# 1、作用
灰色预测是一种针对含有不确定因素、不完全信息或少量数据样本的系统进行预测的有效方法。它通过鉴别系统内部各因素之间发展趋势的相似性和差异性（即进行灰色关联分析），并对原始数据进行累加生成（AGO, Accumulated Generating Operation）等处理，以弱化数据的随机性，增强数据的规律性。随后，基于处理后的数据序列建立一阶单变量微分方程模型（即GM(1,1)模型），从而实现对事物未来发展趋势的预测。
# 2、输入输出描述
输入：1个时间序列数据定量变量：通常是一组按时间顺序排列的观测值，代表某一现象或指标在不同时间点的表现。
输出：灰色预测的拟合预测结果：包括模型对历史数据的拟合值（即回代检验）和未来几个时间点的预测值。这些结果通常以数值形式给出，并可能伴随有预测误差、置信区间等统计信息。
# 3、案例示例
案例：基于某杂志 2006-2021 年某产品的年销售量，使用灰色预测模型对未来三年销售量进行预测。
# 4、案例数据
灰色预测模型案例数据
# 5、案例操作
Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；
step4：选择【灰色预测模型】；
step5：查看对应的数据数据格式，【灰色预测模型】要求输入１个时间序列数据定量变量。
step6：选择向后预测的期数。
step7：点击【开始分析】，完成全部操作。
# 6、输出结果分析
输出结果 1：级比检验结果表
| 索引项 | 原始值 | 级比值 | 平移转换后序列值 | 平移转换后级比值 |
|---|---|---|---|---|
| 2006 | 153.1 | - | 433.1 | - |
| 2007 | 159.2 | 0.962 | 439.2 | 0.986 |
| 2008 | 162.3 | 0.981 | 442.3 | 0.993 |
| 2009 | 159.1 | 1.02 | 439.1 | 1.007 |
| 2010 | 155.1 | 1.026 | 435.1 | 1.009 |
| 2011 | 161.2 | 0.962 | 441.2 | 0.986 |
| 2012 | 171.5 | 0.94 | 451.5 | 0.977 |
| 2013 | 168.4 | 1.018 | 448.4 | 1.007 |
| 2014 | 180.4 | 0.933 | 460.4 | 0.974 |
| 2015 | 201.6 | 0.895 | 481.6 | 0.956 |
| 2016 | 218.7 | 0.922 | 498.7 | 0.966 |
| 2017 | 247 | 0.885 | 527 | 0.946 |
| 2018 | 253.7 | 0.974 | 533.7 | 0.987 |
| 2019 | 261.4 | 0.971 | 541.4 | 0.986 |
| 2020 | 273.2 | 0.957 | 553.2 | 0.979 |
| 2021 | 279.4 | 0.978 | 559.4 | 0.989 |
图表说明：上表格展示了序列值和级比值。若所有的级比值都位于区间（e^(-2/(n+1)), e^(2/n+1)）内，说明数据适合模型构建。若不通过级比检验，则对序列进行“平移转换”，从而使得平移转换后序列满足级比检验。
由上表可知，原序列至少有一个级比值不位于区间（0.889, 1.125）内，此时应对原序列进行平移转换，目的是通过给序列中的每个数据点加上一个常数 c 来调整级比值，spsspro 自动搜索到 c=9，令原序列都加上 9 构成平移转换后的序列，平移转换后的序列的级比值都位于位于区间（0.889, 1.125），因此平移转换后的序列适合构建灰色预测模型。
输出结果 2：灰色模型构建
| 发展系数 a | 灰色作用量 b | 后验差比 C 值 |
|---|---|---|
| -0.021 | 401.899 | 0.08 |
图表说明
：上表格展示了发展系数、灰色作用量、后验差比值。由发展系数和灰色作用量可以构建灰色预测模型。
● 发展系数表示数列的发展规律和趋势，灰色作用量反映数列的变化关系；
● 后验差比值可以验证灰色预测的精度，后验差比值越小，则说明灰色预测精度越高；
● 一般后验差比值 C 值小于 0.35 则模型精度高，C 值小于 0.5 说明模型精度合格，C 值小于 0.65 说明模型精度基本合格，如果 C 值大于 0.65，则说明模型精度不合格。
从上表分析可以得到，后验差比值为 0.08，说明建立的灰色预测模型精度高。
输出结果 3：二阶差分图
| 索引项 | 原始值 | 预测值 | 残差 | 相对误差（%） |
|---|---|---|---|---|
| 2006 | 153.1 | 153.1 | 0 | 0 |
| 2007 | 159.2 | 135.383 | 23.817 | 14.961 |
| 2008 | 162.3 | 144.226 | 18.074 | 11.136 |
| 2009 | 159.1 | 153.257 | 5.843 | 3.672 |
| 2010 | 155.1 | 162.481 | -7.381 | 4.759 |
| 2011 | 161.2 | 171.901 | -10.701 | 6.638 |
| 2012 | 171.5 | 181.521 | -10.021 | 5.843 |
| 2013 | 168.4 | 191.347 | -22.947 | 13.626 |
| 2014 | 180.4 | 201.381 | -20.981 | 11.63 |
| 2015 | 201.6 | 211.629 | -10.029 | 4.975 |
| 2016 | 218.7 | 222.096 | -3.396 | 1.553 |
| 2017 | 247 | 232.785 | 14.215 | 5.755 |
| 2018 | 253.7 | 243.702 | 9.998 | 3.941 |
| 2019 | 261.4 | 254.851 | 6.549 | 2.505 |
| 2020 | 273.2 | 266.237 | 6.963 | 2.549 |
| 2021 | 279.4 | 277.866 | 1.534 | 0.549 |
图表说明：上表展示了灰色预测模型的拟合结果表。相对误差值越小越好，一般情况下小于 20%即说明拟合良好。总的来说，模型平均相对误差为 5.881%，意味着模型拟合效果良好。
输出结果 4：模型拟合预测图 
图表说明：上图展示了灰色预测模型的拟合预测图。
输出结果 5：模型预测结果表
| 预测阶数 | 预测值 |
|---|---|
| 1 | 289.743 |
| 2 | 301.872 |
| 3 | 314.260 |
图表说明：上表展示了灰色预测模型的预测结果表。
# 7、注意事项
- 灰色预测模型适用于少量数据时使用(比如 20 个以内)，大量数据时不适合。
- GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测。
# 8、模型理论
GM(1,1)预测模型的简要原理是指:首先利用累加的技术使数据具备指数规律，然后建立一阶微分方程并对其求解，将所求结果再累减还原，即为灰色预测值，从而对未来进行预测。
步骤 1：在建立灰色预测模型之前必须要保障建模方法的可行性，即需要对已知的原始数据进行级比检验。设初始非负数据序列为
的一阶累加序列可以弱化的扰动：
是
的紧邻均值生成的序列
为GM(1,1) 模型的背景值 。
步骤 2： 构建数据矩阵 B 及数据向量 Y ，分别为
步骤 3： 建立模型并求解生成值与还原值。 依据公式求解, 可得到预测模型
# 9、参考文献
[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2] 邓聚龙. 灰色预测与灰决策[M]. 武汉:华中科技大 学出版社,2002.