# 岭回归

# 1、作用

岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于最小二乘法。

# 2、输入输出描述

输入:自变量 X 至少一项或以上的定量变量或二分类定类变量，因变量 Y 要求为定量变量（若为定类变量，请使用逻辑回归）。
输出:模型检验优度的结果，自变量对因变量的线性关系等等。
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# 3、案例示例

案例:通过自变量（房间面积、楼层高度、房子单价、是否有电梯、周围学校数量、距地铁站位置）拟合预测因变量（房价），现在发现房子单价与楼层高度之间有着很强的共线性，VIF 值高于 20；不能使用常见的最小二乘法 OLS 回归分析，需要使用岭回归模型。

# 4、案例数据

岭回归案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【岭回归（Ridge）】；
step5：查看对应的数据数据格式，【岭回归（Ridge）】要求自变量 X 至少一项或以上的定量变量或二分类定类变量，因变量 Y 要求为定量变量。
step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

输出结果 1：岭迹图

图表说明: 通过岭迹图，确定 K 值。K 值的选择原则是各个自变量的标准化回归系数趋于稳定时的最小 K 值。但通过岭迹图分析方法确定的岭参数 k 在一定程度上存在主观人为性，psspro 采用方差扩大因子法自动确定 K=0.162。
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输出结果 2：岭回归分析结果

图表说明:岭回归的结果显示：基于字段面积、楼层、单价、周围学校数量(1km)、距地铁站距离(km)、配套电梯回归模型显著性 𝑝 值为 0.000，水平上呈现显著性，拒绝原假设，表明自变量与因变量之间存在着回归关系。同时，模型的拟合优度 𝑅² 为 0.956，模型表现为较为较为优秀，因此模型基本满足要求。
模型的公式：
总价=-64.72 ＋ 0.987 × 面积-0.043 × 楼层＋ 0.008 × 单价-0.447 × 周围学校数量(1km)-4.198 × 距地铁站距离(km)-3.674 × 配套电梯

输出结果 3：模型路径图 ​

图表说明:上图以路径图形式展示了本次模型结果，主要包括模型的系数，用于分析模型的公式。
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输出结果 4：模型结果图

图表说明:上图以可视化的形式展示了本次模型的原始数据图、模型拟合值。
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# 7、注意事项

• 一般在做岭回归之前，先采用线性回归（最小二乘法回归），如果发现自变量 VIF（共线性）过大，如超过 10，才使用岭回归；
• SPSSPRO 采用方差扩大因子法来自动寻找 K 值；
• 选取 k 值的一般原则是：
  • 各回归系数的岭估计基本稳定
  • 用最小二乘法估计的符号不合理的回归系数，其岭估计的符号变得合理
  • 回归系数没有不合乎经济意义的绝对值
  • 残差平方和增加不太多

# 8、模型理论

岭回归（Ridge Regression）是回归方法的一种，属于统计方法。在机器学习中也称作权重衰减。也有人称之为 Tikhonov 正则化。岭回归主要解决的问题是两种：一是当预测变量的数量超过观测变量的数量的时候（预测变量相当于特征，观测变量相当于标签），二是数据集之间具有多重共线性，即预测变量之间具有相关性。
一般的，回归分析的（矩阵）形式如下：

一般情况下，使用最小二乘法求解上述回归问题的目标是最小化如下的式子：

岭回归就是要在上述最小化目标中加上一个惩罚项：

这里的λ也是待求参数。也就是说，岭回归是带二范数惩罚的最小二乘回归。

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# 9、参考文献

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2] 刘超,回归分析——方法、数据与 R 的应用,高等教育出版社,2019