Deming's 回归

操作视频

# 1、作用

Deming's 回归类似于普通最小二乘法的回归模型（OLS）。OLS法的前提条件较为严格，其认为自变量X应无明显误差，而Deming's回归则无此前提，在系数估计上同时考虑了自变量X和因变量Y的残差波动。实际应用中，主要用于对方法的比较研究，也用作自变量和因变量均为随机数据的拟合和预测。

# 2、输入输出描述

输入：因变量Y、自变量X各为一个定量变量。
输出：Deming's回归的方程以及部分检验结果。

# 3、案例示例

案例：化学研究中，用一种新方法和标准方法，分别对某一物质进行测定，使用Deming's回归检验这两种方法是否一致。

# 4、案例数据

Deming's 回归案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【Deming's 回归】；
step5：查看对应的数据数据格式，【Deming's 回归】要求自变量X和因变量Y均为定量变量。
step6：选择自动选择误差方差比（默认为自动运算）；
step7：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

输出结果1：变量描述性统计结果

图表说明：
上表展示了描述性统计的结果，包括样本量、最大值、最小值等统计量，和使用的误差方差比，用于研究数据的整体情况。

输出结果2：模型结果

图表说明：
上表展示了模型的参数结果，可用于生成模型公式。包括模型的系数、标准误差、P值、置信区间等。如若需要使用Deming's回归进行一致性检验，则希望检验截距项为0，变量的系数为1，即可认为一致。
智能分析：
模型的公式为：y=-8.812 +0.966 × 方法B结果
截距项的显著性P值为0.999，水平上不呈现显著性，不能拒绝原假设，认为截距项不显著，其95%置信区间为(-14.41, -3.215)，该区间不包含0。
基于变量-方法B结果，显著性P值为0.000***，水平上呈现显著性，拒绝原假设，认为方法B结果显著，其95%置信区间为(0.915, 1.016)，该区间包含1。
分析：
理论上，两法测定结果完全一致时，它们的斜率项=1，截距项=0。两法比对时，有两种偏差，常数偏差（偏差为一个常数）和比例偏差（偏差一个比例常数），分别对应截距项≠0和斜率项≠1。
由本例中，截距项不包含0，有理由认为存在常数偏差，斜率项包含1，没有理由认为存在比例偏差。

输出结果3：误差方差

图表说明：
上表展示了Deming's回归误差的方差值。
分析：
从该结果可以考察变量的误差情况。

输出结果4：散点拟合图

图表说明：
上图展示了Deming's回归的散点拟合情况。

# 7、注意事项

Deming's 回归的误差方差比是根据历史数据或本次分析之前的历史分析数据来计算出的。
当误差方差比为1的时候，Deming's 回归等于正交回归。

# 8、模型理论

Deming's 回归与简单线性回归（OLS）不同，Deming's 回归适用的数据中自变量X和因变量Y均有明显的系统误差和随机误差，故不能使用简单线性回归（OLS）进行分析（OLS假设为自变量X无明显的系统误差和随机误差）。其计算流程如下：
首先计算样本协方差矩阵：

$[\begin{matrix} m_{Y Y} & m_{Y X} \\ m_{X Y} & m_{X X} \end{matrix}]$

之后拟合方程y = ax + b，其目标函数为：

$\frac{\sum (y_{i} - y_{i}^{*})^{2} + δ (x_{i} - x_{i}^{*})^{2}}{m_{y y}}$

其中，

m_{y y}

为协方差矩阵的值，δ为误差方差比。
迭代计算使得目标函数最小，最终得到系数a与b：

$a = \frac{m_{Y Y} - δ m_{X X} + \sqrt{(m_{Y Y} - δ m_{X X})^{2} + 4 δ m_{X Y}^{2}}}{2 m_{X Y}}$

$b = \overset{―}{Y} - a \overset{―}{X}$

# 9、手推步骤

Step 1. 计算均值（ $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ ）

方法B结果（ $X$ ）的均值：
逐行相加所有X值：
$\sum X_{i} = 117.608 + 112.612 + 96.101 + \dots + 94.725 = 11, 202.4$

$\bar{X} = \frac{11, 202.4}{100} = 112.024$
方法A结果（ $Y$ ）的均值：逐行相加所有Y值：
$\sum Y_{i} = 105.182 + 97.832 + 85.449 + \dots + 84.925 = 9, 936.1$

$\bar{Y} = \frac{9, 936.1}{100} = 99.361$

Step 2. 计算方差（ $m_{X X}$ 和 $m_{Y Y}$ ）

方法B结果（ $X$ ）的方差：
逐行计算 $(X_{i} - \bar{X})^{2}$ 并求和：
$\sum (X_{i} - 112.024)^{2} = (117.608 - 112.024)^{2} + (112.612 - 112.024)^{2} + \dots + (94.725 - 112.024)^{2} = 8, 880.104$

$m_{X X} = \frac{8, 880.104}{99} \approx 89.696$
方法A结果（ $Y$ ）的方差：
逐行计算 $(Y_{i} - \bar{Y})^{2}$ 并求和：
$\sum (Y_{i} - 99.361)^{2} = (105.182 - 99.361)^{2} + (97.832 - 99.361)^{2} + \dots + (84.925 - 99.361)^{2} = 8, 279.964$
$m_{Y Y} = \frac{8, 279.964}{99} \approx 83.636$

Step 3. 计算协方差（ $m_{X Y}$ ）
逐行计算 $(X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})$ 并求和：

$\begin{aligned} \sum (X_{i} - 112.024) (Y_{i} - 99.361) & = (117.608 - 112.024) (105.182 - 99.361) + (112.612 - 112.024) (97.832 - 99.361) \\ + \dots + (94.725 - 112.024) (84.925 - 99.361) \\ = 5.584 \times 5.821 + 0.588 \times (- 1.529) + \dots + (- 17.299) \times (- 14.436) \\ = 32.51 + (- 0.90) + \dots + 249.5 \approx 8, 474.4 \end{aligned}$

$m_{X Y} = \frac{8, 474.4}{99} \approx 85.6$

Step 4. 确定误差方差比（ $δ$ ）
根据Deming回归假设，取 $δ = 1$ （误差方差相等）。

$δ = \frac{Var (ε_{Y})}{Var (ε_{X})} = \frac{2.687}{2.882} \approx 0.9324$

Step 5. 计算回归系数 $a$
代入公式：

$a = \frac{m_{Y Y} - δ m_{X X} + \sqrt{(m_{Y Y} - δ m_{X X})^{2} + 4 δ m_{X Y}^{2}}}{2 m_{X Y}}$

逐步计算：

$m_{Y Y} - δ m_{X X} = 83.636 - 0.9324 \times 89.696 \approx 83.636 - 83.636 = 0$ $分子 = 0 + \sqrt{0 + 4 \times 0.9324 \times (85.6)^{2}} = \sqrt{4 \times 0.9324 \times 7327.36} \approx \sqrt{27372.8} \approx 165.5$ $a = \frac{165.5}{2 \times 85.6} \approx \frac{165.5}{171.2} \approx 0.966$

Step 6. 计算截距 $b$

$b = \bar{Y} - a \bar{X} = 99.361 - 0.966 \times 112.024 \approx 99.361 - 108.173 = - 8.812$

最终结果

项	回归系数	计算值
截距项	$b$	-8.812
方法B结果	$a$	0.966

回归方程：

$方法A结果 = - 8.812 + 0.966 \times 方法B结果$

# 10、参考文献

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2] 孟虹.Deming′s线性回归法在临床检验方法比较研究中的应用[J].华西预防医学,1990(02):38-42.

建议反馈