# 广义线性模型

# 1、作用

广义线性模型（GLM）是一种通用的模型，用于不同类型的数据和分布，包括二项分布（用于二分类问题）、泊松分布（用于计数数据）、正态分布等，且不一定要求因变量和自变量之间是线性关系；而线性回归OLS适用于因变量是连续的、正态分布的，且自变量对因变量的关系是线性的。

# 2、输入输出描述

输入：1个定量因变量；1个或以上的自变量。
输出：自变量对因变量的影响程度。

# 3、案例示例

案例：假设正在研究某种药物和不同年龄（不同年龄具有不同的免疫能力）这两个变量对患者的治疗效果。

# 4、案例数据

广义线性模型案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【广义线性模型】；
step5：查看对应的数据数据格式，按照【广义线性模型】要求拖入变量
step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

输出结果1：Omnibus检验

似然比卡方	自由度	P
202.25	3	0.000***

图表说明：上表展示了Omnibus检验结果，用于同时检验模型中的多个系数是否显著。若P<0.05，表明至少有一个自变量对因变量有显著影响，即整个模型显著。Omnibus检验结果显示，显著性𝑝值0.000***，水平上呈现显著性，至少有一个自变量对因变量有显著影响，因而模型是有效的。

输出结果2：参数估计表

参数	系数	标准误差	Wald	P	95%置信区间下限	95%置信区间上限
截距	67.421	6.791	98.561	0.000***	54.111	80.731
Age	2.906	0.175	275.643	0.000***	2.563	3.249
Treatment_A	1.791	3.861	0.215	0.643	-5.778	9.359
Treatment_B	5.216	3.841	1.844	0.174	-2.312	12.744

图表说明：上表展示了参数估计的结果。由上表可知，年龄对血压有显著影响，且年龄与血压成正比；

输出结果3：预测结果表

图表说明：上表显示了模型的预测情况。 若是数据结果超过15行，点击表格右上角的下载按钮导出全部数据结果。

# 7、注意事项

• 综合考虑因变量的类型、分布，选择适合数据的 GLM 模型；

# 8、模型理论

广义线性模型是统计学中一类用于建模和分析的框架，适用于因变量不一定服从正态分布的情况。GLM 的一般形式如下：

其中：

• g(μ) 是一个链接函数（Link function），它用于将预测的线性组合与均值_μ_ 相联系。
• μ 是因变量的均值。
• _β_0,_β_1,…,βk 是模型的系数。
• _x_1,_x_2,…,xk 是自变量。
• g(⋅) 是一个非线性函数，用于将线性组合转换成均值 μ 的预测值。

GLM 的核心是链接函数，它用于描述因变量均值与预测的线性组合之间的关系。不同的链接函数适用于不同的数据类型，例如：
（1）对于二项分布数据，链接函数是 logit 函数，其中p是成功的概率；

（2）对于有序数据，链接函数也是 logit 函数，p是取值不大于某个有序水平的累计概率；
（3）对于泊松分布数据（计数数据），链接函数是对数函数。
（4）对于高斯分布数据，链接函数是恒等函数，
总体来说，GLM 提供了一种灵活的建模框架，适用于各种类型的数据和不同的分布假设。通过选择合适的链接函数和权重函数，可以适应多样化的数据分析需求。

# 9、参考文献

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.