典型相关分析
# 1、作用
典型相关分析是研究多个变量和多个变量之间的线性相关关系，能够揭示出两组变量之间的内在联系。首先在每组变量中找到变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。然后选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的那一组。如此继续配对，直到两组变量之间的相关性被提取完。
# 2、输入输出描述
输入：集合 Y 为至少两项或以上的定量变量或有序定类变量，集合 Y 为至少两项或以上的定量变量或有序定类变量。
输出：成对典型变量的相关性，以及典型变量对研究变量的解释比例。
# 3、案例示例
案例：研究 200 名大学生四个学术得分变量与三个心理得分变量之间的关系。
# 4、案例数据
典型相关分析案例数据
# 5、案例操作
Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；
step4：选择【典型相关分析】；
step5：查看对应的数据数据格式，按要求输入【典型相关分析】数据。
step6：点击【开始分析】，完成全部操作。
# 6、输出结果分析
输出结果 1：典型相关系数
分析：由上表可知，前 3 对典型变量通过显著性检验，认为前 3 对典型变量之间的相关性显著，第 1 对典型变量的相关系数为 0.994。第 2 对典型变量的相关系数为 0.878。第 3 对典型变量的相关系数为 0.384。第一对典型变量贡献率为 0.989/（0.989+0.771+0.147）=51.9%，第二对典型变量贡献率为 0.771/（0.989+0.771+0.147）=40.4%，所以第一对和第二对典型变量的总贡献率达到 92.3%，因此后续分析重点关注第一对和第二对典型变量。
注意：这里 p 值显著以典型相关系数大小没有必然的联系，p 值显著，说明典型变量间不相关的概率很小，即典型变量间大概率是相关的，至于多大的相关程度是不能判断的。
输出结果 2：典型变量系数
集合 Y 典型变量系数
| 典型变量 Y1 | 典型变量 Y2 | 典型变量 Y3 | |
|---|---|---|---|
| 控制情绪 | 0.062 | 0.174 | 0.377 |
| 自我调节 | 0.021 | -0.242 | -0.104 |
| 自我激励 | 0.078 | 0.238 | -0.383 |
集合 X 典型变量系数
| 典型变量 X1 | 典型变量 X2 | 典型变量 X3 | |
|---|---|---|---|
| 语文 | 0.07 | 0.192 | -0.247 |
| 数学 | 0.031 | -0.202 | 0.142 |
| 英语 | 0.09 | 0.496 | 0.28 |
| 才艺 | 0.063 | -0.068 | -0.011 |
输出结果 3：典型负荷系数和交叉负荷系数
图表说明：上表展示了典型变量的系数，可得到典型变量的组成公式。
集合 Y 的第 1 典型变量的计算公式：Y1=0.062× 控制情绪+0.021× 自我调节+0.078× 自我激励
集合 Y 的第 2 典型变量的计算公式：Y2=0.174× 控制情绪-0.242× 自我调节+0.238× 自我激励
集合 Y 的第 3 典型变量的计算公式：Y3=0.377× 控制情绪-0.104× 自我调节-0.383× 自我激励
集合 X 的第 1 典型变量的计算公式：X1=0.07× 语文+0.031× 数学+0.09× 英语+0.063× 才艺
集合 X 的第 2 典型变量的计算公式：X2=0.192× 语文-0.202× 数学+0.496× 英语-0.068× 才艺
集合 X 的第 3 典型变量的计算公式：X3=-0.247× 语文+0.142× 数学+0.28× 英语-0.011× 才艺
集合 Y 典型载荷系数和交叉载荷系数
集合 X 典型载荷系数和交叉载荷系数
图表说明：上表展示了典型载荷系数和交叉载荷系数 ，典型载荷系数绝对值越大说明该项与典型变量之间的相关关系越强。
● 典型载荷系数是指一个典型变量与本组所有变量的简单相关系数。
● 交叉载荷系数是指一个典型变量与另一组变量各个变量的简单相关系数。
输出结果 4：载荷矩阵热力图
分析：以上是集合 Y 典型载荷矩阵热力图，由图可知，典型变量 Y1 与集合 Y 里面的三个心理得分变量（自我激励、自我调节、控制情绪）的相关性较高，说明典型变量 1 就能很好地解释集合 Y 中心理得分的三个变量。典型变量 2 更多解释了“自我调节”这个变量。
分析：以上是集合 X 典型载荷矩阵热力图，由图可知，典型变量 X1 就能很好地解释集合 X 中学术得分的四个变量，尤其是才艺这个变量，它与典型变量 X1 具有极高的向相关性。典型变量 X2 更多地解释集合 X 中“英语”这个变量。
图表说明：上图展示了载荷矩阵热力图，可以直观看出典型变量与本组所有变量的相关性或典型变量与另一组变量的相关性。主要通过颜色深浅去表示值的大小。
输出结果 5：方差解释比例
| 集合 X | 集合 Y | |
|---|---|---|
| 典型变量 X1 | 55.944 | 91.05 |
| 典型变量 X2 | 9.833 | 3.572 |
| 典型变量 X3 | 19.188 | 0.486 |
| 典型变量 Y1 | 55.329 | 92.063 |
| 典型变量 Y2 | 7.582 | 4.632 |
| 典型变量 Y3 | 2.824 | 3.305 |
图表说明：上表中展示了典型变量的解释比例，包括组内解释比例和交叉解释比例，定量地判断典型变量所包含的原始信息量的大小。
智能分析：
典型变量 X1 解释了集合 Y 中指标的 91.05%信息量，解释了集合 X 中指标的 55.944%信息量。
典型变量 X2 解释了集合 Y 中指标的 3.572%信息量，解释了集合 X 中指标的 9.833%信息量。
典型变量 X3 解释了集合 Y 中指标的 0.486%信息量，解释了集合 X 中指标的 19.188%信息量。
典型变量 Y1 解释了集合 Y 中指标的 92.329%信息量，解释了集合 X 中指标的 55.329%信息量。
典型变量 Y2 解释了集合 Y 中指标的 4.463%信息量，解释了集合 X 中指标的 7.582%信息量。
典型变量 Y3 解释了集合 Y 中指标的 3.305%信息量，解释了集合 X 中指标的 2.824%信息量。
分析：这一步主要是为了进行冗余分析，如果一个变量可以由另一个变量的方差来解释或者预测，那么就说这歌方差部分与另一变量方差冗余。可以计算求出典型变量对的共享方差
第一典型变量的共享方差：（0.55944*0.9105）*100%=50.94%
第二典型变量的共享方差：（0.09833*0.03572）*100%=3.51%
第三典型变量的共享方差：（0.19188*0.00486）*100%=0.09%
# 7、注意事项
- 典型相关系数是矩阵 X 和 Y 相应特征向量的求解，有可能与其他标准结果出现系数相反的情况。
# 8、模型理论
我们假设两个变量的集合 
和 
：
定义两个线性关系的集合 
和 
， 
是 
的线性组合， 
是 
的线性组合：
我们希望找到使得在每一对
和 
中关联关系最大的线性组合。
定义 的方差如下：
定义 的方差计算如下：
最后 
和 
的协方差计算如下：
我们采用如下方式来判断 
和 
的相关性：
我们的目的就是要最大化 
。我们想找到关于 
和 
的线性组合，使他们上述的关联关系最大化。
这个函数优化一般有两种方法，第一种是奇异值分解 SVD，第二种是特征分解，两者得到的结果一样。
# 9、参考文献
[1]Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2] HOTELLING H． Relations between two sets of variates [J].Biometrika，1936，28：321—377．