Winters法

# 1、作用

使用Winters方法可以平滑处理数据并提供中期预测值。当数据有趋势和季节性分量时，可以使用此过程对这两个分量进行加法或乘法计算。Winters方法计算以下三个分量的动态估计值：水平、趋势和季节性。

# 2、输入输出描述

输入：一项定量或一项定量和时间变量
输出：Winter图

# 3、案例示例

当地营业厅的预算计划人员想要预测明年的用电成本，他们收集了2016年1月-2022年12月期间公用设施使用情况的月度数据，可以利用Winter方法预测2023年期间的用电情况。

# 4、案例数据

案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

Step4：选择【Winters法】；
Step5：查看对应的数据数据格式，按照【Winters法】要求输入数据。
Step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

# 输出结果1：Winters图

图表说明：通过Winter方法可以平滑数据波动，展示历史趋势及中期预测结果。关于图表中的“实际值”、“拟合值”、“预测值”、“95%置信下限”和“95%置信上限”的解释如下：
（1）实际值：各时间点真实数据，反映即时波动。
（2）拟合值：基于历史数据计算的模型拟合结果，凸显趋势。
（3）预测值：对未来时间的销量预估，延续拟合趋势。
（4）95%预测区间：预测值的置信范围，体现不确定性。

# 输出结果2：误差指标汇总表

评价指标	平均绝对百分比误差(MAPE)	平均绝对误差(MAD)	平均偏差平方和(MSD)
结果	3.64	61.002	6370.267

图表说明：关于平均绝对百分比误差(MAPE)、平均绝对误差(MAD)及平均偏差平方和（MSD）解释如下：
（1）平均绝对百分比误差(MAPE)度量拟合值与实际值绝对偏差占实际值的百分比均值，反映相对误差幅度；
（2）平均绝对误差(MAD)度量拟合值与实际值绝对偏差的算术平均值，直接体现误差绝对大小；
（3）平均偏差平方和（MSD）度量拟合值与实际值偏差平方的算术平均值，对异常大误差赋予更高权重。

根据误差指标汇总表可知，平均绝对百分比误差为{ 3.64 }，平均绝对误差为{ 61.002 }，平均偏差平方和为{ 6370.267 }。

# 7、注意事项

按时间顺序记录数据：时间序列数据按照固定的间隔收集，而且按时间顺序记录。应当按照数据的收集顺序将数据记录到工作表中。
收集足够的数据以评估趋势或模式：请收集足够的数据，以便您可以完全评估数据中的趋势或模式。
按照适当的时间间隔收集数据：基于您要检测的模式选择时间间隔。例如，要在过程中查找每个月的模式，请在每个月的同一时间收集数据。
您的数据应当具有季节性分量：如果您的数据中既没有趋势分量又没有季节性分量，则使用移动平均或单指数平滑。如果您的数据中有趋势分量，但没有季节性分量，则使用趋势分析或双指数平滑。

# 8、模型理论

使用Winters方法可以平滑处理数据并提供中期预测值。关于Winters法的乘法模型与加法模型的计算公式如下：

Winter法的乘法模型

\begin{aligned} L_{t} = a (Y_{t} / S_{t - p}) + (1 - a) [L_{t - 1} + T_{t - 1}] \\ T_{t} = y [L_{t} - L_{t - 1}] + (1 - y) T_{t - 1} \\ S_{t} = δ (Y_{t} / L_{t}) + (1 - δ) S_{t - p} \\ {\hat{Y}}_{t} = (L_{t - 1} + T_{t - 1}) S_{t - p} \end{aligned}

式中， $L_{t}$ 为在时间 $t$ 的水平， $α$ 是水平的权重； $T_{t}$ 为时间 $t$ 的趋势， $y$ 为趋势的权重； $S_{t}$ 为在时间 $t$ 的季节性分量， $δ$ 为季节性分量的权重； $p$ 为季节性周期， $Y_{t}$ 为时间 $t$ 的数据值， ${\hat{Y}}_{t}$ 为在时间 $t$ 的拟合值。

Winter法的加法模型

\begin{aligned} L t = a (Y_{t} - S_{t - p}) + (1 - a) [L_{t - 1} + T_{t - 1}] \\ Tt = y [L_{t} - L_{t - 1}] + (1 - y) T_{t - 1} \\ S_{t} = δ (Y_{t} - L_{t}) + (1 - δ) S_{t - p} \\ {\hat{Y}}_{t} = L_{t - 1} + T_{t - 1} + S_{t - p} \end{aligned}

模型拟合
Winters 方法在每个周期中采用一个水平分量、一个趋势分量以及一个季节性分量。它在每个周期使用三个权重（即平滑参数）来更新分量。水平和趋势分量的初始值从对时间进行线性回归而来。季节性分量的初始值则从使用去除趋势后的数据的虚拟变量回归而来。

模型预测
Winters方法使用水平、趋势和季节性分量来生成预测。Winters方法还使用预测起始时间之前的数据来生成预测。对时间点 $t$ 向前 $m$ 个周期的预测为：

\begin{array}{ll} 乘法方法: & (L_{t} + m T_{t}) * S_{t} + m - p \\ 加法方法: & L_{t} + m T_{t} + S_{t} + m - p \end{array}

式中， $L_{t}$ 为在时间 $t$ 的水平， $T_{t}$ 为时间 $t$ 的趋势， $S_{t} + m - p$ 为上一年中同一周期的季节性分量。

平均绝对百分比误差(MAPE)
平均绝对百分比误差(MAPE)度量时间序列值拟合的准确度。MAPE以百分比表示准确度。

\frac{\sum | (y_{t} - {\hat{y}}_{t}) / y_{t} |}{n} \times 100, (y_{t} \neq 0)

其中， $y_{t}$ 表示时间 $t$ 处的实际值； ${\hat{y}}_{t}$ 表示时间 $t$ 处的预测值； $n$ 表示观测值个数。

平均绝对误差(MAD)
平均绝对偏差(MAD)度量时间序列值拟合的准确度。MAD以与数据相同的单位表示准确度，从而有助于使误差量概念化。

\frac{\sum_{t = 1}^{n} | y_{t} - {\hat{y}}_{t} |}{n}

其中， $y_{t}$ 表示时间 $t$ 处的实际值； ${\hat{y}}_{t}$ 表示时间 $t$ 处的预测值； $n$ 表示观测值个数。

平均偏差平方和(MSD)
无论采用哪种模型，平均偏差平方和(MSD)始终是使用相同的分母 $n$ 计算的。对于异常大的预测误差，MSD度量比MAD敏感。

\frac{\sum_{t = 1}^{n} {| y_{t} - {\hat{y}}_{t} |}^{2}}{n}

其中， $y_{t}$ 表示时间 $t$ 处的实际值； ${\hat{y}}_{t}$ 表示时间 $t$ 处的预测值； $n$ 表示观测值个数。

# 9、参考文献

[1]Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2]张智广.利用Winter法预测季节性商品的销售量[J].中国市场,2009,(13):24-25.

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