双指数平滑法

# 1、作用

当数据有趋势但没有季节性分量时，使用双指数平滑作为一般平滑处理方法并提供短期预测值。此过程计算以下两个分量的动态估计值：水平和趋势。

# 2、输入输出描述

输入：一项定量或一项定量和时间变量
输出：双指数平滑图

# 3、案例示例

一位在线零售商想要预测2023年1月-2023年6月内的计算机销售量。该零售商收集了2021年-2022年两年内有关计算机销量和软件销量的数据，可以利用双指数平滑法预测2023年未来6个月的计算机销售量趋势。

# 4、案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

Step4：选择【双指数平滑法】；
Step5：查看对应的数据数据格式，按照【双指数平滑法】要求输入数据。
Step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

# 输出结果1：双指数平滑图

图表说明：通过双指数平滑法可以平滑数据波动，展示历史趋势及短期预测结果。关于图表中的“实际值”、“拟合值”、“预测值”、“95%置信下限”和“95%置信上限”的解释如下：
（1）实际值 ：各时间点真实数据，反映即时波动。
（2）拟合值 ：基于历史数据计算的模型拟合结果，凸显趋势。
（3）预测值 ：对未来时间的销量预估，延续拟合趋势。
（4）95%预测区间 ：预测值的置信范围，体现不确定性。

# 输出结果2：误差指标汇总表

评价指标	平均绝对百分比误差(MAPE)	平均绝对误差(MAD)	平均偏差平方和(MSD)
结果	15.702	40870.662	3713481275.925

图表说明：关于平均绝对百分比误差 (MAPE)、平均绝对误差 (MAD) 及平均偏差平方和（MSD）解释如下：
（1）平均绝对百分比误差 (MAPE)度量拟合值与实际值绝对偏差占实际值的百分比均值，反映相对误差幅度；
（2）平均绝对误差 (MAD) 度量拟合值与实际值绝对偏差的算术平均值，直接体现误差绝对大小；
（3）平均偏差平方和（MSD）度量拟合值与实际值偏差平方的算术平均值，对异常大误差赋予更高权重。

根据误差指标汇总表可知，平均绝对百分比误差为{ 15.702 }，平均绝对误差为{ 40870.662 }，平均偏差平方和为{ 3713481275.925 }。

# 7、注意事项

• 按时间顺序记录数据：时间序列数据按照固定的间隔收集，而且按时间顺序记录。应当按照数据的收集顺序将数据记录到工作表中。
  
• 收集足够的数据以评估趋势或模式：请收集足够的数据，以便您可以完全评估数据中的趋势或模式。
  
• 按照适当的时间间隔收集数据：基于您要检测的模式选择时间间隔。例如，要在过程中查找每个月的模式，请在每个月的同一时间收集数据。

# 8、模型理论

双指数平滑在每个周期处采用水平分量和趋势分量。双指数平滑使用两个权重（又称为平滑参数）在每个周期处更新分量。双指数平滑方程如下所示：

$$\begin{array}{rl}& L_t=\alpha Y_t+(1-\alpha )[L_{t-1}+T_{t-1}]\\ & T_t=\gamma [L_t-L_{t-1}]+(1-y)T_{t-1}\\ & {\hat{Y}}_t=L_{t-1}+T_{t-1}\end{array}$$

式中，$L_t$表示时间$t$处的水平分量，$T_t$表示时间$t$处的趋势，$Y_t$表示时间$t$处的实际值，$\alpha$表示水平的权重，$\beta$表示趋势的权重，${\hat{Y}}_t$表示时间$t$处的预测值。

权重的计算如下：
（1）最优ARIMA权重：
①使用ARIMA(0,2,2)模型与数据拟合，以尽可能使误差平方和最小。；
②随后，向后预测方法对趋势和水平分量进行初始化。
（2）指定权重的方法：
①将线性回归模型与时间序列数据（y变量）和时间（x变量）的关系进行拟合；
②此回归中的常量是水平分量的初始估计值，斜率系数是趋势分量的初始估计值。

水平和趋势的初始值计算方法：
（1）选择最优综合自回归移动平均(ARIMA)，则使用以下方法来计算水平和趋势的第一个值：
①使用ARIMA(0,2,2)计算对应的MA值及残差值$e_i$。

$$\begin{array}{rl}& w_1=1+M{A}_2\\ & w_2=\frac{2-w_1-M{A}_1}{w_1}\end{array}$$

②使用后续观测值的数据计算回初始观测值：

$$\begin{array}{rl}& p_2=2x_3-x_4-(M{A}_1\ast e_3)-(M{A}_2\ast e_4)\\ & e_2=x_2-p_2\\ & p_1=2x_2-x_3-(M{A}_1\ast e_2)-(M{A}_2\ast e_3)\\ & e_1=x_1-p_1\end{array}$$

式中，$p_i$表示第$i$个平滑观测值的预测值，$x_i$表示第$i$个实际值，$e_i$表示残差值。
③计算水平 (L1) 的初始值

$$L_1=p_1+w_1\ast e_1$$

④计算趋势 (T1) 的初始值

$$T_1=p_2-L_1$$

（2）选择自定义水平和趋势权重，则使用以下方法来计算水平和趋势的初始值：
①水平的初始值是：

$$L_1=w_L\ast x_1+(1-w_L)({\varphi }_0+{\varphi }_1)$$

②趋势的初始值是：

$$T_1=w_T\ast (L_1-{\varphi }_0)+(1-w_T){\varphi }_1$$

式中，$L_1$表示水平初始值，$T_1$表示趋势初始值，$x_1$表示第一个观测值（实际值），$w_L$表示自定义的水平权重值，$w_T$表示自定义的趋势权重值，${\phi }_0$表示回归模型中的常量项的系数，${\phi }_1$表示回归模型中的变量项的系数。

预测上下限的计算：

$$\mathbf{\text{预测上限}}=\mathbf{\text{预测值}}+1.96\ast d_t\ast MAD$$$$\mathbf{\text{预测下限}}=\mathbf{\text{预测值}}-1.96\ast d_t\ast MAD$$$$d_t=1.25\sqrt{\frac{1+\frac{\gamma }{(1+\delta {)}^3}[1+4\delta +5{\delta }^2+2\gamma (1+3\delta )\tau +2{\gamma }^2{\tau }^2]}{1+\frac{\gamma }{(1+\delta {)}^3}[1+4\delta +5{\delta }^2+2\gamma (1+3\delta )+2{\gamma }^2]}}$$$${\hat{y}}_{T+\tau }(T)=b_0(T)+\tau b_1(T)$$$$b_0(T)=\alpha y_T+(1-\alpha ){\hat{y}}_{(T-1)+1}(T-1)$$$$b_1(T)=\gamma [b_0(T)-b_0(T-1)]+(1-\gamma )b_1(T-1)$$$$\gamma =max\{\alpha ,\beta \}$$$$\delta =1-\gamma$$

式中，MAD表示平均绝对误差，$\alpha$表示水平的权重，$\beta$表示趋势的权重。

平均绝对百分比误差 (MAPE)：
平均绝对百分比误差(MAPE)度量时间序列值拟合的准确度。MAPE以百分比表示准确度。

$$\frac{\sum |(y_t-{\hat{y}}_t)/y_t|}{n}\times 100,(y_t\ne 0)$$

其中，$y_t$表示时间$t$处的实际值；${\hat{y}}_t$表示时间$t$处的预测值；$n$表示观测值个数。

平均绝对误差 (MAD)：
平均绝对偏差(MAD)度量时间序列值拟合的准确度。MAD以与数据相同的单位表示准确度，从而有助于使误差量概念化。

$$\frac{\sum _{t=1}^n|y_t-{\hat{y}}_t|}{n}$$

其中，$y_t$表示时间$t$处的实际值；${\hat{y}}_t$表示时间$t$处的预测值；$n$表示观测值个数。

平均偏差平方和 (MSD)：
无论采用哪种模型，平均偏差平方和(MSD)始终是使用相同的分母$n$计算的。对于异常大的预测误差，MSD度量比MAD敏感。

$$\frac{\sum _{t=1}^n{|y_t-{\hat{y}}_t|}^2}{n}$$

其中，$y_t$表示时间 t 处的实际值；${\hat{y}}_t$表示时间$t$处的预测值；$n$表示观测值个数。

# 9、参考文献

[1]Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2]黎锁平,武会超.基于双指数平滑方法的通信软件可靠性分析[J].兰州理工大学学报,2006,(04):102-104.