移动平均法

# 1、作用

在数据没有趋势时，使用移动平均法可以平滑处理数据并提供短期预测值。如果数据具有季节性模式，而且移动平均的长度设置为与季节性模式的长度相同，则可以使用移动平均。

# 2、输入输出描述

输入：一项定量或一项定量和时间变量
输出：移动平均图

# 3、案例示例

某牙膏零售商收集了2022年1月1日-2022年4月11日以内的销售数据。该零售商基于移动平均法创建了预测牙膏销售的时间序列模型。在移动平均图上，预测和线沿着数据紧密分布，尤其是在序列末端。零售商可以以95%的置信水平认为接下来几周的销售量将大约在50和70之间。

# 4、案例数据

案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

Step4：选择【移动平均法】；
Step5：查看对应的数据数据格式，按照【移动平均法】要求输入数据。
Step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

# 输出结果1：移动平均图

图表说明：通过移动平均法可以平滑数据波动，展示历史趋势及短期预测结果。关于图表中的“实际值”、“拟合值”、“预测值”、“95%置信下限”和“95%置信上限”的解释如下：
（1）实际值：各时间点真实数据，反映即时波动。
（2）拟合值：基于历史数据计算的模型拟合结果，凸显趋势。
（3）预测值：对未来时间的销量预估，延续拟合趋势。
（4）95%预测区间：预测值的置信范围，体现不确定性。

# 输出结果2：误差指标汇总表

评价指标	平均绝对百分比误差(MAPE)	平均绝对误差(MAD)	平均偏差平方和(MSD)
结果	8.916	2.923	13.88

图表说明：关于平均绝对百分比误差 (MAPE)、平均绝对误差 (MAD) 及平均偏差平方和（MSD）解释如下：
（1）平均绝对百分比误差 (MAPE)度量拟合值与实际值绝对偏差占实际值的百分比均值，反映相对误差幅度；
（2）平均绝对误差 (MAD) 度量拟合值与实际值绝对偏差的算术平均值，直接体现误差绝对大小；
（3）平均偏差平方和（MSD）度量拟合值与实际值偏差平方的算术平均值，对异常大误差赋予更高权重。

根据误差指标汇总表可知，平均绝对百分比误差为{ 8.916 }，平均绝对误差为{ 2.923 }，平均偏差平方和为{ 13.88 }。

# 7、注意事项

按时间顺序记录数据：时间序列数据按照固定的间隔收集，而且按时间顺序记录。应当按照数据的收集顺序将数据记录到工作表中。
收集足够的数据以评估趋势或模式：请收集足够的数据，以便您可以完全评估数据中的趋势或模式。
按照适当的时间间隔收集数据：基于您要检测的模式选择时间间隔。例如，要在过程中查找每个月的模式，请在每个月的同一时间收集数据。

# 8、模型理论

在数据没有趋势时，使用移动平均可以平滑处理数据并提供短期预测值。如果数据具有季节性模式，而且移动平均的长度设置为与季节性模式的长度相同，则可以使用移动平均。

移动平均法
移动平均是最基础的滑动平均方法，它使用一个固定窗口，将窗口内的各期值取平均，用这个平均值来替代时间序列中该位置的值。
● 窗口大小：通常记作 $n$ ，表示每次平均的期数；
● 窗口滑动：每次将窗口向前滑动一期，重复计算。
设原始时间序列为：

{y_{1}, y_{2}, \dots, y_{t}}

设定滑动窗口大小为 $n$ ，则第 $t$ 期的移动平均值为：

{\hat{y}}_{t} = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} y_{t - i}

即用最近 $n$ 个时期的平均值来表示当前的趋势。
对于第 $t$ 期的拟合值来说，第 $t$ 期的拟合值等于第 $t - 1$ 期的移动平均值。对于第 $t$ 期的预测值来说，第 $t$ 期的预测值取决于所所设置的预测起点。一般设置的预测起点是第几期，对应的预测值就是所设置预测起点的移动平均值。

中心移动平均法（当设置移动平均居中之后，就变成中心移动平均法）
当数据存在季节性波动或周期性干扰时，使用对称窗口居中平均值来反映趋势。中心滑动平均用于提取时间序列中的趋势成分，常用于季节性分解（季节调整法）中。
设原始时间序列为：

{y_{1}, y_{2}, \dots, y_{t}}

当 $n$ 为奇数时，中心滑动平均第 $t$ 期值为：

C M A_{t} = \frac{1}{2 k + 1} \sum_{i = - k}^{k} y_{t + i}

如当 $n = 3$ 时，计算从第3期开始的滑动平均公式为：

C M A_{t} = \frac{y_{t - 1} + y_{t} + y_{t + 1}}{3}

当 $n$ 为偶数时，先计算一次滑动平均：

M_{t} = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} y_{t + i}

再计算两个滑动平均值的平均，落在中心：

C M A_{t + 0.5} = \frac{M_{t} + M_{t + 1}}{2}

如当 $n = 4$ 时，计算从第3期开始的滑动平均公式为：

M_{2.5} = \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4}}{4}

M_{3.5} = \frac{y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{5}}{4}

C M A_{3} = \frac{M_{2.5} + M_{3.5}}{2}

对于第 $t$ 期的拟合值来说，第 $t$ 期的拟合值等于第 $t - 1$ 期的移动平均值。

预测限

上限 = 预测值 + 1.96 \times \sqrt{MSD}

下限 = 预测值 - 1.96 \times \sqrt{MSD}

MSD为均方差。

平均绝对百分比误差(MAPE)：
平均绝对百分比误差(MAPE)度量时间序列值拟合的准确度。MAPE以百分比表示准确度。

\frac{\sum | (y_{t} - {\hat{y}}_{t}) / y_{t} |}{n} \times 100, (y_{t} \neq 0)

其中， $y_{t}$ 表示时间 $t$ 处的实际值； ${\hat{y}}_{t}$ 表示时间 $t$ 处的预测值； $n$ 表示观测值个数。

平均绝对误差 (MAD)：
平均绝对偏差(MAD)度量时间序列值拟合的准确度。MAD以与数据相同的单位表示准确度，从而有助于使误差量概念化。

\frac{\sum_{t = 1}^{n} | y_{t} - {\hat{y}}_{t} |}{n}

其中， $y_{t}$ 表示时间 $t$ 处的实际值； ${\hat{y}}_{t}$ 表示时间 $t$ 处的预测值； $n$ 表示观测值个数。

平均偏差平方和 (MSD)：
无论采用哪种模型，平均偏差平方和(MSD)始终是使用相同的分母n计算的。对于异常大的预测误差，MSD度量比MAD敏感。

\frac{\sum_{t = 1}^{n} {| y_{t} - {\hat{y}}_{t} |}^{2}}{n}

其中， $y_{t}$ 表示时间 $t$ 处的实际值； ${\hat{y}}_{t}$ 表示时间 $t$ 处的预测值； $n$ 表示观测值个数。

# 9、参考文献

[1]Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2]李云刚.基于移动平均法的改进[J].统计与决策,2009,(19):158-159.

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