时间序列分解法

# 1、作用

时间序列分解法可以将时间序列分为线性趋势、季节性和误差分量，并进行预测。可以选择要将季节性分量与趋势相加还是相乘。当序列中有季节性分量时，使用此分析可以生成预测值并评估分量。

# 2、输入输出描述

输入：一项定量或一项定量和时间变量
输出：时间序列分解图及趋势和季节分量图

# 3、案例示例

营销分析员想要预测网球的销量。分析员收集了2021年1月-2024年12月期间的网球数据，以预测2024年1月-2024年6月的网球销量。

# 4、案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

Step4：选择【时间序列分解法】；
Step5：查看对应的数据数据格式，按照【时间序列分解法】要求输入数据。
Step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

# 输出结果1：时间序列分解图

图表说明：时间序列分解法可以将时间序列分为线性趋势、季节性和误差分量，并进行预测。使用拟合趋势方程可以计算特定时间段的趋势分量，拟合趋势方程为一次函数的拟合方程形式。关于图表中的“实际值”、“拟合值”、“预测值”的解释如下：
（1）实际值：各时间点真实数据，反映即时波动。
（2）拟合值：基于历史数据计算的模型拟合结果，凸显趋势。拟合值等于趋势值加上季节性指数值。
（3）预测值：对未来时间的销量预估，延续拟合趋势。

根据时间序列分解图可得拟合的趋势方程的系数为{ 2.19 }，截距项为{ 171.178 }，方程形式为{ y = 171.178 + 2.19*t }。

# 输出结果2：趋势和季节的分量分析图

图表说明：时间序列分解法可以对季节和趋势进行分解。选择同时对季节和趋势进行分解时，可以得到原始数据图、去除趋势的数据图、季节性调整数据图以及季节性调整和去除趋势之后的数据图。对各个图形的解释如下：
（1）原始数据图：原始数据的时间序列图。
（2）去除趋势的数据图：去除趋势的值是指去除了趋势分量的数据。去除趋势的值是观测值和趋势值之间的差异（加法模型）或者等于观测值除以趋势值（乘法模型）。如果去除趋势的数据图看上去与原始数据不同，可以得出数据中存在趋势分量的结论。
（3）季节性调整数据图：季节性调整值是指去除了季节性分量的数据。季节性调整值是观测值与季节性值之间的差异（加法模型）或者等于观测值除以季节性值（乘法模型）。如果季节性调整数据图看上去与原始数据不同，则可以得出数据中存在季节性分量的结论。
（4）季节性调整和去除趋势之后的数据图（也称残差图）：经过季节性调整和去除趋势之后得到的值又称为残差。通过观察该图可以确定模型分解是否充分。当模型分解充分时，残差应当是随机分布的，而且没有明显的模式和异常值。

# 输出结果3：季节性分析图

图表说明：时间序列分解过程可以分析时间序列每个季节中的季节性指数和变异，可以得到季节性指数图、季节趋降数据图、季节百分比变异图以及季节残差的数据图。对各个图形的解释如下：
（1）季节性指数图：季节性指数是时间 t 处的季节性效应。使用该图可以确定季节性效应的方向。
（2）季节趋降数据图：季节趋降数据图是指去除了趋势分量的数据。使用箱线图可以确定哪个季节性周期具有最大变异和最小变异。
（3）季节百分比变异图：该图显示每个季节的变异百分比。使用该图可以对每个季节性周期的变异进行量化。
（4）季节残差的数据图：该图可以确定对于残差是否存在季节性效应。

# 输出结果4：误差指标汇总表

评价指标	平均绝对百分比误差(MAPE)	平均绝对误差(MAD)	平均偏差平方和(MSD)
结果	7.906	17.992	571.149

图表说明：关于平均绝对百分比误差 (MAPE)、平均绝对误差 (MAD) 及平均偏差平方和（MSD）解释如下：
（1）平均绝对百分比误差 (MAPE)度量拟合值与实际值绝对偏差占实际值的百分比均值，反映相对误差幅度；
（2）平均绝对误差 (MAD) 度量拟合值与实际值绝对偏差的算术平均值，直接体现误差绝对大小；
（3）平均偏差平方和（MSD）度量拟合值与实际值偏差平方的算术平均值，对异常大误差赋予更高权重。

根据误差指标汇总表可知，平均绝对百分比误差为{ 7.906 }，平均绝对误差为{ 17.992 }，平均偏差平方和为{ 571.149 }。

# 7、注意事项

• 按时间顺序记录数据：时间序列数据按照固定的间隔收集，而且按时间顺序记录。应当按照数据的收集顺序将数据记录到工作表中。
• 收集足够的数据以评估趋势或模式：请收集足够的数据，以便您可以完全评估数据中的趋势或模式。
• 按照适当的时间间隔收集数据：基于您要检测的模式选择时间间隔。例如，要在过程中查找每个月的模式，请在每个月的同一时间收集数据。
• 您的数据应当至少具有 4 或 5 个完整的季节性周期。：如果您没有足够多的完整周期，则说明您可能没有足够的数据来计算季节性指数的合理估计值。

# 8、模型理论

时间序列分解法可以将时间序列分为线性趋势、季节性和误差分量，并进行预测。关于时间序列分解法乘法与加法的计算模型如下：

分解乘法模型

$$Y_t=\mathbf{\text{趋势}}\times \mathbf{\text{季节性}}\times \mathbf{\text{误差}}$$

式中$Y_t$表示在时间$t$时的观测值。

分解加法模型

$$Y_t=\mathbf{\text{趋势}}+\mathbf{\text{季节性}}+\mathbf{\text{误差}}$$

式中$Y_t$表示在时间$t$时的观测值。

模型拟合
分解涉及以下步骤：
（1）使用与季节性周期长度相同的居中移动平均长度使数据平滑。当季节性周期长度是偶数时，需要进行两步移动平均来正确地同步移动平均。
（2）通过将平均移动值除以数据（乘法模型）或者将数据减去移动平均值（加法模型）来获取通常称为原始季节性值的内容。
（3）对于季节性周期中的相应时间段，确定原始季节性值的中位数。例如，如果您有连续60个月（5 年）的数据，则确定对应于1月、2月等等的4个原始季节性值的中位数。
（4）调整原始季节性值的中位数，以使这些季节性值的平均值为一（乘法模型）或零（加法模型）。这些调整的中位数构成季节性指数。
（5）使用季节性指数来按季节调整数据。
（6）使用最小二乘回归将趋势线与进行了季节调整的数据进行拟合。
通过将数据除以趋势分量（乘法模型）或将数据减去趋势分量（加法模型），可以去除数据中的趋势。

预测
分解以线性回归线乘以季节性指数（乘法模型）或加上（加法模型）季节性指数来计算预测。在预测原点之前的数据用于分解。

平均绝对百分比误差(MAPE)
平均绝对百分比误差(MAPE)度量时间序列值拟合的准确度。MAPE以百分比表示准确度。

$$\frac{\sum |(y_t-{\hat{y}}_t)/y_t|}{n}\times 100,(y_t\ne 0)$$

其中，$y_t$表示时间$t$处的实际值；${\hat{y}}_t$表示时间$t$处的预测值；$n$表示观测值个数。

平均绝对误差(MAD)
平均绝对偏差(MAD)度量时间序列值拟合的准确度。MAD以与数据相同的单位表示准确度，从而有助于使误差量概念化。

$$\frac{\sum _{t=1}^n|y_t-{\hat{y}}_t|}{n}$$

其中，$y_t$表示时间$t$处的实际值；${\hat{y}}_t$表示时间$t$处的预测值；$n$表示观测值个数。

平均偏差平方和(MSD)
无论采用哪种模型，平均偏差平方和(MSD)始终是使用相同的分母$n$计算的。对于异常大的预测误差，MSD度量比MAD敏感。

$$\frac{\sum _{t=1}^n{|y_t-{\hat{y}}_t|}^2}{n}$$

其中，$y_t$表示时间$t$处的实际值；${\hat{y}}_t$表示时间$t$处的预测值；$n$表示观测值个数。

# 9、参考文献

[1]Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.