单指数平滑法

# 1、作用

单指数平滑可以通过计算指数加权的平均值来平滑处理数据，还可以提供短期预测值。此分析在没有趋势或季节性分量时对数据效果最佳。

# 2、输入输出描述

输入：一项定量或一项定量和时间变量
输出：单指数平滑图

# 3、案例示例

某牙膏零售商收集了2022年1月1日-2022年4月11日以内的销售数据。该零售商基于单指数平滑法创建了预测牙膏销售的时间序列模型。

# 4、案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

Step4：选择【单指数平滑法】；
Step5：查看对应的数据数据格式，按照【单指数平滑法】要求输入数据。
Step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

# 输出结果1：单指数平滑图

图表说明：通过单指数平滑法可以平滑数据波动，展示历史趋势及短期预测结果。关于图表中的“实际值”、“拟合值”、“预测值”、“95%置信下限”和“95%置信上限”的解释如下：
（1）实际值 ：各时间点真实数据，反映即时波动。
（2）拟合值 ：基于历史数据计算的模型拟合结果，凸显趋势。
（3）预测值 ：对未来时间的销量预估，延续拟合趋势。
（4）95%预测区间 ：预测值的置信范围，体现不确定性。

# 输出结果2：误差指标汇总表

评价指标	平均绝对百分比误差(MAPE)	平均绝对误差(MAD)	平均偏差平方和(MSD)
结果	7.963	2.551	11.309

图表说明：关于平均绝对百分比误差 (MAPE)、平均绝对误差 (MAD) 及平均偏差平方和（MSD）解释如下：
（1）平均绝对百分比误差 (MAPE)度量拟合值与实际值绝对偏差占实际值的百分比均值，反映相对误差幅度；
（2）平均绝对误差 (MAD) 度量拟合值与实际值绝对偏差的算术平均值，直接体现误差绝对大小；
（3）平均偏差平方和（MSD）度量拟合值与实际值偏差平方的算术平均值，对异常大误差赋予更高权重。

根据误差指标汇总表可知，平均绝对百分比误差为{ 7.963 }，平均绝对误差为{ 2.551 }，平均偏差平方和为{ 11.309 }。

# 7、注意事项

• 按时间顺序记录数据：时间序列数据按照固定的间隔收集，而且按时间顺序记录。应当按照数据的收集顺序将数据记录到工作表中。
  
• 收集足够的数据以评估趋势或模式：请收集足够的数据，以便您可以完全评估数据中的趋势或模式。
  
• 按照适当的时间间隔收集数据：基于您要检测的模式选择时间间隔。例如，要在过程中查找每个月的模式，请在每个月的同一时间收集数据。

# 8、模型理论

单指数平滑可以通过计算指数加权的平均值来平滑处理数据，还可以提供短期预测值。关于单指数平滑的计算方法如下：

实际值：输入观测的实际值。

平滑值和拟合值：平滑（预测）值是通过两种方式之一获取的：使用最优综合自回归移动平均或自定义权重指定的权重。
（1）最优ARIMA权重：
①使用ARIMA(0,1,1)模型进行拟合并存储拟合值；
②平滑值是ARIMA模型拟合值，但会滞后一个时间单位；
③通过向后预测得到的初始平滑值（时间 1 处）：

$$\mathbf{\text{初始平滑值}}=[\mathbf{\text{周期2中的平滑值}}–\mathbf{\text{α(周期 1 中的数据)] / (1 – α)}}$$

且第$t+1$期的拟合值就是第$t$期的平滑值。
（2）指定权重的方法：
①使用初始平滑值（位于时间 0 处）的前六个观测值的平均值。
②对于每个时间点$t（t>1）$，使用以下公式计算平滑值F(t)：

$$F_t=\alpha X_t+(1-\alpha )F_{t-1}$$

其中： $X_t$表示第t期的实际值，$F_{t-1}$表示$t-1$期的平滑值，$\alpha$为平滑系数。
③第$t+1$期的拟合值就是第$t$期的平滑值。

预测值：对于第$t$期的预测值来说，第$t$期的预测值取决于所所设置的预测起点。一般设置的预测起点是第几期，对应的预测值就是所设置预测起点的移动平均值。

置信上限：95%的置信区间上限

$$\mathbf{\text{上限}}=\mathbf{\text{预测值}}+1.96\ast 1.25\ast MAD$$

式中MAD表示平均绝对误差。

置信下限：95%的置信区间下限

$$\mathbf{\text{下限}}=\mathbf{\text{预测值}}-1.96\ast 1.25\ast MAD$$

式中MAD表示平均绝对误差。

平均绝对百分比误差 (MAPE)：
平均绝对百分比误差(MAPE)度量时间序列值拟合的准确度。MAPE以百分比表示准确度。

$$\frac{\sum |(y_t-{\hat{y}}_t)/y_t|}{n}\times 100,(y_t\ne 0)$$

其中，$y_t$表示时间$t$处的实际值；${\hat{y}}_t$表示时间$t$处的预测值；$n$表示观测值个数。

平均绝对误差 (MAD)：
平均绝对偏差(MAD)度量时间序列值拟合的准确度。MAD以与数据相同的单位表示准确度，从而有助于使误差量概念化。

$$\frac{\sum _{t=1}^n|y_t-{\hat{y}}_t|}{n}$$

其中，$y_t$表示时间$t$处的实际值；${\hat{y}}_t$表示时间$t$处的预测值；$n$表示观测值个数。

平均偏差平方和 (MSD)：
无论采用哪种模型，平均偏差平方和(MSD)始终是使用相同的分母n计算的。对于异常大的预测误差，MSD度量比MAD敏感。

$$\frac{\sum _{t=1}^n{|y_t-{\hat{y}}_t|}^2}{n}$$

其中，$y_t$表示时间$t$处的实际值；${\hat{y}}_t$表示时间$t$处的预测值；$n$表示观测值个数。

# 9、参考文献

[1]Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.

[2]李颖.时间序列指数平滑算法的改进研究[D].辽宁工程技术大学,2009.