三因素方差分析
# 1、作用
在现实研究中，一个变量的影响可能不足以说明差异效果，当方差分析中涉及三个定类自变量时，称为三因素方差分析，用于分析三个自变量对因变量带来的显著性影响。
# 2、输入输出描述
输入：三个定类变量（如电脑的品牌、广告形式和生产地区）与一个定量变量（如电脑销量）
输出：模型三因素方差分析的结果：变量一对定量变量产生/不产生显著性影响，变量二对定量变量产生/不产生显著性影响，变量三对定量变量产生/不产生显著性影响，均值对比图。
# 3、案例示例
案例：分析品牌、地区和广告形式三个定类自变量对电脑销量(定量因变量)的影响。
# 4、案例数据
三因素方差分析案例数据
# 5、案例操作
Step1：新建项目；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；
step4：选择【三因素方差分析】；
step5：查看对应的数据数据格式，【三因素方差分析】要求输入数据为分组定类变量，变量数=3；放入定量变量，变量数为 1 项；
step6：进行相关设置；
step7：点击【开始分析】，完成全部操作。
# 6、输出结果分析
输出结果 1：三因素方差分析结果
| 项 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F | p |
|---|---|---|---|---|---|
| 截距 | 2649689679.717 | 1 | 2649689679.717 | 3601.38 | 0.000**_ |
| 广告形式 | 8428.282 | 1 | 8428.282 | 0.011 | 0.915 |
| 地区 | 38251430.782 | 3 | 12750476.927 | 17.33 | 0.000_** |
| 品牌 | 286834540.466 | 4 | 71708635.117 | 97.464 | 0.000*** |
| 误差 | 66952596.343 | 91 | 735742.817 | NaN |
R 方=0.852（调整后 R 方=0.839）
图表说明：上表展示了三因素方差分析的结果，主效应如果显著可以进一步分析事后多重分析结果。
**智能分析**：三因素方差结果显示： 对于变量截距，从 F 检验的结果分析可以得到，显著性 P 值为 0.000、***水平上呈现显著性，对结果有显著性影响，存在主效应。 对于变量广告形式，从 F 检验的结果分析可以得到，显著性 P 值为 0.915 水平上不呈现显著性，对结果没有显著性影响，不存在主效应。 对于变量地区，从 F 检验的结果分析可以得到，显著性 P 值为 0.000***水平上呈现显著性，对结果有显著性影响，存在主效应。 对于变量品牌，从 F 检验的结果分析可以得到，显著性 P 值为 0.000***水平上呈现显著性，对结果有显著性影响，存在主效应。
输出结果 2：均值对比图
图表说明：上图展示了三因素方差分析的均值的结果，通过比较不同分组变量的均值以及交叉情况（通常有交叉则有交互作用），可以挖掘其差异关系。
# 7、注意事项
- 每一个总体都服从正态分布，且有相同的方差。
- 需考虑是否是重复测量/是否满足独立性假设。
- 需考虑三个因素之间是否有交互作用，有交互作用可以在算法界面选择分析交互作用。
# 8、模型理论
# 1.介绍
方差分析又称“变异数分析”或“F 检验”，用于对两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。三因素方差分析是检验在三种因素影响下，三个以上总体的均值之间是否相等的一种统计方法。包括无交互影响和有交互影响的情况。
# 2.原理
1.模型建立
假设有三个因素 A, B, C，因素 A 有 r 个水平，记为
；因素 B 有 s 个水平，记为
；因素 C 有 t 个水平，记为
。在水平组合
下样本相互独立，且
。
是全部样本数据的总平均值：
，
是因素 A 的第 i 个水平下各观察值的平均值:
，
是因素 B 的第 j 个水平下各观察值的平均值:
，
是因素 C 的第 k 个水平下各观察值的平均值:
,
为因素 A 的第 i 个水平的效应，
为因素 B 的第 j 个水平的效应，
为因素 C 的第 k 个水平的效应，分别为： 
。他们分别满足：
若
，则模型为：
2.提出假设
为了检验三个因素的影响，需要对三个因素分别提出以下假设：
，A 因素(自变量)对因变量没有显著影响；
，B 因素(自变量)对因变量没有显著影响；
，C 因素(自变量)对因变量没有显著影响。
3.构造检验的统计量
为检验假设是否成立，需要分别确定检验因素的统计量。
引入
,则
因素 A 所产生的误差平方和为：
因素 B 所产生的误差平方和为：
因素 C 所产生的误差平方和为：
随机误差平方和:
4.三因素方差分析表
5.检验规则
- 若
，则拒绝
，表示在因素 A 的各水平下的效应有显著差异； - 若
，则拒绝
，表示在因素 B 的各水平下的效应有显著差异； - 若
，则拒绝
，表示在因素 C 的各水平下的效应有显著差异。
以上介绍为无交互影响的三因素方差分析，若需分析有有交互影响的情况，只需在上面案例操作 step6：进行相关设置即可。
# 9、参考文献
[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2] 郭萍. 三因素方差分析的原理及应用[J]. 沈阳大学学报（自然科学版）,2015,27(1):40-43. DOI:10.3969/j.issn.2095-5456.2015.01.009.