协方差分析

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# 1、作用

协方差分析是一种强大的统计工具，用于解释组别之间的差异，并控制潜在的协变量的影响，从而更准确地评估实验或研究的结果。当你想要比较两个或多个组的均值差异，但存在可能会影响因变量的协变量，就需要用到协方差分析去控制了协变量的影响并评估分组之间的差异。

# 2、输入输出描述

输入：1 个定量因变量；1 个以上的定类分组变量；1 个以上的定量协变量。
输出：协变量的影响被控制后，解释组别之间的差异。

# 3、案例示例

案例：想要探究不同类型的锻炼训练和饮食类型对体重的影响，但同时涉及到一个协变量：年龄，年龄会影响人的新陈代谢，对体重也是也影响的，通过协方差分析去控制年龄对体重的影响，并分析不同类型的锻炼训练和饮食类型对体重的影响。

# 4、案例数据

协方差分析案例数据

# 5、案例操作

Step1：新建项目；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【协方差分析】；
step5：查看对应的数据数据格式，
step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

# 6、输出结果分析

输出结果 1：主体间效应检验
图表说明：对于交互项-饮食类型 * 年龄（岁），F 检验的显著性 P 值为 0.003***，水平上呈现显著性，说明饮食类型 * 年龄（岁）对体重（千克）有显著性影响。说明要去除协变量的影响后再去分析饮食类型对因变量的作用。

输出结果 2：协方差分析
图表说明：上表展示了协方差结果，是控制了协方差滞后去分析分组变量对因变量的影响。

输出结果 3：多重比较分析
图表说明：上表展示了事后多重比较的的结果，对变量之间具体差异进行分析。

# 7、注意事项

协变量应是定量变量。
各处理组协变量的均值最好差别不要太大，否则最终修正所依赖的协变量总体均值会在各处理组的 x 范围外，就算是各处理组的回归外推，可能会不准确。

# 8、模型理论

当进行协方差分析时，通常会有一个自变量（分类变量）和一个或多个协变量（连续变量）。协方差分析的一般模型可以表示为：

其中：

$Y_{i j}$ 是第 i 组中第 j 个观测值的因变量。
$A_{i}$ 是第 i 组的自变量（分类型，通常有 n 个水平）。
$X_{i j}$ 是第 i 组中第 j 个观测值的协变量（连续变量）。
$β_{0}$ 是截距项。
$β_{1}$ 是自变量的主效应系数，表示自变量对因变量的影响。
$β_{2}$ 是协变量的主效应系数，表示协变量对因变量的影响。
$ϵ_{i j}$ 是误差项，表示未被模型解释的随机误差。

这个模型表示了协方差分析中的主体效应，包括自变量（分类型）和协变量（连续变量）的主效应。主要的目标是确定这些效应的系数 $β_{1}$ 和 $β_{2}$ 是否显著不等于零，以确定它们是否对因变量产生显著影响。
如果模型还包括了自变量和协变量的交互效应，那么模型将会扩展，例如：

这个模型考虑了自变量和协变量之间的交互作用，其中 $β_{3}$ 是交互效应系数，表示协变量和自变量之间的交互作用对因变量的影响。
在协方差分析中，需要对主体效应（自变量和协变量的主效应）进行假设检验，通常使用 F 统计量来检验它们是否显著不等于零。如果 F 统计量显著，那么相应的效应被认为对因变量有显著影响。
在确定了协变量、协变量与自变量交互项的效应存在后，可取查看因变量的修正均数，修正均数是假设各协变量取值固定在其总均数时的观察变量 Y 的均数。

# 9、参考文献

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.

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