多因素方差分析
# 1、作用
当有两个或者两个以上的因素对因变量产生影响时，可以用多因素方差分析的方法来进行分析。其原理与单因素方差分析基本一致，也是利用方差比较的方法，通过假设检验的过程来判断多个因素是否对因变量产生显著性影响。在多因素方差分析中，由于影响因变量的因素有多个，其中某些因素除了自身对因变量产生影响之外，它们之间也有可能会共同对因变量产生影响。
# 2、输入输出描述
输入：多个定类变量 X1,X2,...,Xn（如电脑的品牌、广告形式和生产地区）与一个定量变量 Y（如电脑销量）
输出：模型分析的结果：变量 X1 对定量变量产生/不产生显著性影响，变量 X2 对定量变量产生/不产生显著性影响, ... ,变量 Xn 对定量变量产生/不产生显著性影响等
# 3、案例示例
案例：分析品牌、地区和广告形式多个定类自变量对电脑销量 (定量因变量) 的影响。
# 4、案例数据
# 5、案例操作
Step1：新建项目；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；
step4：选择【多因素方差分析】；
step5：查看对应的数据数据格式，【多因素方差分析】要求输入数据为分组定类自变量，变量数>=2；放入定量因变量，变量数为1项；
step6：进行相关设置；
step7：点击【开始分析】，完成全部操作。 ## 6、输出结果分析 **输出结果1：多因素方差分析结果**
| 项 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F | p |
|---|---|---|---|---|---|
| 截距 | 2649689679.717 | 1 | 2649689679.717 | 3601.38 | 0.000*** |
| 品牌 | 286834540.466 | 4 | 71708635.117 | 97.464 | 0.000*** |
| 广告形式 | 8428.282 | 1 | 8428.282 | 0.011 | 0.915 |
| 地区 | 38251430.782 | 3 | 12750476.927 | 17.33 | 0.000*** |
| 误差 | 66952596.343 | 91 | 735742.817 | NaN | |
| R方=0.852（调整后R方=0.839） |
图表说明：上表展示了多因素方差分析的结果，主效应如果显著可以进一步分析事后多重分析结果。
智能分析：多因素方差结果显示：
对于变量截距，从F检验的结果分析可以得到，显著性P值为0.000***水平上呈现显著性，对结果有显著性影响，存在主效应。
对于变量品牌，从F检验的结果分析可以得到，显著性P值为0.000***水平上呈现显著性，对结果有显著性影响，存在主效应。
对于变量广告形式，从F检验的结果分析可以得到，显著性P值为0.915水平上不呈现显著性，对结果没有显著性影响，不存在主效应。
对于变量地区，从F检验的结果分析可以得到，显著性P值为0.000***水平上呈现显著性，对结果有显著性影响，存在主效应。
# 7、注意事项
- 各样本须是相互独立的随机样本
- 各样本来自正态分布总体
- 各总体方差相等, 即方差齐
- 如果存在主效应显著，说明该因素不同组别之间存在显著差异，可以进一步对两两组别进行对比。通过案例操作 step6 选择事后多重比较
# 8、模型理论
# 1.介绍
当有两个或者两个以上的因素对因变量产生影响时，可以用多因素方差分析的方法来进行分析。其原理与单因素方差分析基本一致，也是利用方差比较的方法，通过假设检验的过程来判断多个因素是否对因变量产生显著性影响。
在多因素方差分析中，把因素单独对因变量产生的影响称之为“主效应”；把因素之间共同对因变量产生的影响，或者因素某些水平同时出现时，除了主效应之外的附加影响，称之为“交互效应”。多因素方差分析分为无交互效应和有交互效应两类情况。
此外，多因素方差分析往往假定因素与因变量之间的关系是线性关系。从这个方面来说，方差分析的模型也是如下一个一般化线性模型的延续：
无交互效应时：因变量=因素 1 主效应+因素 2 主效应+…+因素 n 主效应+随机误差。
有交互效用时：因变量=因素 1 主效应+因素 2 主效应+…+因素 n 主效应+因素交互效应1+因素交互效应2+…+因素交互效应m+随机误差。所以多因素方差分析往往选用一般化线性模型进行参数估计。
# 2.原理
# 1.模型建立
假设有 n 个因素 X1, ...,Xn，它们分别有
个水平。在水平组合下样本相互独立，且
。
是全部样本数据的总平均值：
，
是因素 1 的第 i1 个水平下各观察值的平均值:
，
是因素 2 的第 i2 个水平下各观察值的平均值:
,
........
是因素 n 的第in个水平下各观察值的平均值:
,
为因素 1 的第i1 个水平的效应，
为因素 2 的第i2 个水平的效应，...,
为因素 n 的第 in 个水平的效应，分别为：
。他们分别满足：
,若
，则模型为：
# 2.提出假设
为了检验 n 个因素的影响，需要对 n 个因素分别提出以下假设：
，因素 1 (自变量)对因变量没有显著影响；
，因素 2 (自变量)对因变量没有显著影响；- ......
，因素 n (自变量)对因变量没有显著影响。
# 3.构造检验的统计量
为检验假设是否成立，需要分别确定检验因素的统计量。
,
引入
,则
因素 1 所产生的误差平方和为：
因素 2 所产生的误差平方和为：
.......
因素 n 所产生的误差平方和为：
,
随机误差平方和:
# 4.多因素方差分析表
# 5.检验规则
若
，则拒绝
，表示在因素 1 的各水平下的效应有显著差异。其它因素的判断同
。
# 9、参考文献
[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com.
[2] 郭萍. 三因素方差分析的原理及应用[J]. 沈阳大学学报（自然科学版）,2015,27(1):40-43. DOI:10.3969/j.issn.2095-5456.2015.01.009.